Konvergenzrate der Fourier-Projektion
Der Fehler der Fourier-Projektion l¨asst sich f¨ur periodische Funktionen mit quadratintegrierbarer k-ter Ableitung durch
kf −pnfk2π ≤(n+ 1)−kkf(k)k2π absch¨atzen.
F¨urf(x) =ei(n+1)x ist die Ungleichung scharf.
Konvergenzrate der Fourier-Projektion 1-1
Beweis:
Fourier-Reihe
f(x)∼X
j∈Z
cjeijx
Fourier-Reihe derk-ten Ableitung f(k)(x)∼X
j∈Z
cj(ij)keijx
Parseval-Identit¨at
kf(k)k22π =X
j∈Z
|cj|2|j|2k
=⇒
kf −pnfk22π = X
|j|>n
|cj|2 ≤X
j∈Z
|cj|2 |j|2k
(n+ 1)2k = (n+ 1)−2kkf(k)k22π
Konvergenzrate der Fourier-Projektion 2-1
Spezialfall g(x) =ei(n+1)x:
cn+1= 1,cj = 0 f¨urj 6=n+ 1, g(k)(x) = (i(n+ 1))kei(n+1)x Gleichheit in der Fehlerabsch¨atzung, dennpng = 0 =⇒
kg−pngk22π =kgk22π =k(i(n+ 1))−kg(k)k22π = (n+ 1)−2kkg(k)k22π
Konvergenzrate der Fourier-Projektion 2-2
