Lagrange-Projektion ThomasSchöps

LMU München, Germany • Thomas Schöps

Lagrange-Projektion

Hüttenseminar im Zillertal bei Prof. Lars Diening

Wintersemester 2014/2015

Idee der Präsentation

Lagrange-Projektion

Denition

Für normierte Räume X und Y gilt:

L(X , Y ) := {A : X → Y | A ist stetig und linear }

||A|| := kA||

= sup

||Ax ||

||x||

Für normierte Räume X,Y bedeutet

X , → Y ,

dass X in Y linear und stetig eingebettet ist.

Lagrange-Projektion

Folgerung 3.28

Es sei G ⊂ R

ein beschränktes konvexes Gebiet, k, m ∈ N

, p, q ≥ 1, sowie

E , I ∈ L(H

(G ), H

(G)) I ist der Interpolations- Operator, der P

(G ) invariant lässt:

Is = s (s ∈ P

(G ))

= ⇒ ∃ c, sodass ∀u ∈ H

(G ) gilt:

||Eu − Iu||

≤ c|u|

wichtiger Hilfssatz

Sei T ein n-Simplex, k ∈ N. ∀p ∈ P

(T ) mit i = (i

, .., i

) ∈ N

,

= (

, ...,

) gilt:

p(x(λ)) = ¯ p(λ) = X

|i|=k

¯ p( i

k )φ

(λ) und

φ

(λ) =

n

Y

l=0 il−1

Y

jl=0

λ

−

il

k

−

= ⇒ p ∈ P

(T ) ist eindeutig durch seine Werte auf dem Lagrange- Gitter k-ter Ordnung bestimmt.

G

(T ) = {x =

n

X

j=0

λ

a

|λ

∈ { m

k |m = 0 , ..., k }, λ

≥ 0 ;

n

X

j=0

λ

= 1 }

Lagrange-Projektion

= ⇒ G

, G

sind an äquivalent wenn:

∃ invertierbare ane Abbildung x = F (y) = Ay + b(x, y ∈ R

) , sodass G

= F (G

) ist

Satz 3.29

Seien G

, G

∈ R

oen, beschränkt und an äquivalent, m ∈ N

, p ∈ [ 1 , ∞] . Dann gelten für u ∈ H

(G

) und v(y ) = u(F (y )), (y ∈ G

) die Abschätzungen

|v |

≤ c

|A|

|detA|

|u|

|u|

≤ c

|A

|

|detA|

|v |

Beweisskizze von Satz 3.29

• o.B.d.A u ∈ C

(G

) ∩ H

(G

), v ∈ C

(G

) ∩ H

(G

)

• v

(y) = P

i=1

u

(F (y ))A

• durch vollst. Induktion für |α| = m :

|D

v (y)| ≤ . . . ≤ c (m, n)|A|

P

|β|=m

|(D

u) ◦ F |

• durch Integration und die Transformationsformel für p < ∞ gilt:

||D

v||

≤ c (m, n)|A|

P

|β|=m

||(D

u ) ◦ F ||

• ||(D

u) ◦ F ||

= ( R

G₁

|(D

u)(x)|

|detA

|dx )

= |detA|

||D

u||

= ⇒ Zusammen folgt der Satz.

= ⇒ Für die zweite Abschätzung ersetze A durch A

Rückblick und Folgerung 3.30

• s-dim Simplex: T = {x ∈ R

|x = P

j=0

λ

a

, 0 ≤ λ

, P

j=0

λ

= 1 }

• Durchmesser: h(T ) = max {|a

− a

||(j , k = 0 , ..., s)}

• Inkugeldurchmesser: ρ(T ) = 2 sup{R|B

(x

) ⊂ T } Folgerung 3.30

Unter den Vorraussetzungen des letzten Satzes für

¯

u(¯ x) = u (F (¯ x)) (¯ x ∈ T

) gelten die Abschätzungen

|¯ u|

≤ c

(m, n, p ) h(T )

ρ(T

)

ρ(T )

|u|

und

|u|

≤ c

(m, n, p ) h(T

)

ρ(T )

h(T )

|¯ u|

Lagrange-Projektion

Satz 3.31

Sind k , m ∈ N

, p, q ≥ 1 so, dass die Einbettung

H

(T

) , → H

(T

)

besteht und sind I

, I ∈ L(H

(T

), H

(T

)) Interpolationsoperatoren.

So folgt für

(Iu) ◦ F = I

(u ◦ F ) die Fehlerabschätzung

|u − Iu|

≤ c σ(T )

|T |

h(T )

|u|

≤ c σ(T )

h(T )

|u|

Beweisskizze von Satz 3.31

• Existenz des Interpolationsoperator I auf T ist klar

• Mit u ∈ H

(T ) und Satz 3.29:

|u − Iu|

≤ c|A

|

|detA|

|(u − Iu) ◦ F |

• Nach Def. von I , mit s

∈ P

(T

) und der Einbettungskonstanten

||E

|| folgt:

... ≤ c|A

|

|detA|

(||E

|| + ||I

||)|s

− u ◦ F |

• Nach Rücktransformation gemäÿ Satz 3.29 und dem Hilfssatz gilt:

... ≤ cρ(T )

h(T )

|T |

|u|

• Mit c ρ(T )

≤ |detA| ≤ ch(T )

und σ(T ) =

folgt:

= ⇒ ... ≤ cρ(T )

h(T )

|u|

falls p ≥ q

= ⇒ ... ≤ cρ(T )

h(T )

|u |

falls p ≤ q

= ⇒ Zusammen folgt der Satz

Lagrange-Projektion

Satz 3.33

Sei G ⊂ R

oen, beschränkt und durch T zulässig trianguliert. Weiter sei X

= {u

∈ C

( ¯ G )|u

|

∈ P

(T ), T ∈ T }.

Für den Lagrange-Interpolationsoperator

Iu ∈ P

(T ), Iu = u auf G

(T ), T ∈ T , für den Fall H

(G) , → C

( ¯ G ) gilt die Interpolationsabschätzung:

|u − Iu|

≤ c

σ

h

|u |

für m ∈ { 0 , 1 } für den Fall H

(G) , → C

( ¯ G ) gilt:

|u − Iu|

≤ c

σ

h

|u |

für m ∈ { 0 , 1 }

Beweisskizze von Satz 3.33

• Existenz des Interpolationsoperators I : Mit einem Hilfssatz und der Einbettung H

(G ) , → C

( ¯ G ) , denn wegen der Einbettung ist die punktweise Interpolierende wohldeniert,

Iu(x) = P

j=1

u(¯ a

)φ

(x) und invariant auf P

(T ) für T ∈ T

• Interpolationsabschätzung:

|u − Iu|

= P

T∈T

|u − Iu|

, (weiter mit Satz 3.31)

≤ c P

T∈T

σ(T )

h(T )

|u|

H^s+1,p(T)

≤ c σ

h

|u|

• zweiter Fall geht wegen q > n und damit H

(G ) , → C

( ¯ G) analog

Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!!