F ( z ):= f z ; z ∈ C ; f alsKoeffizienteneinerPotenzreihebetrachtetundeinegeschlosseneFormderdadurchdefiniertenFunktionsucht. F ( z )= X f X F¨urlineareundnichtlineareRekursionsgleichungenerh¨altmanofteineL¨osung,indemmandie 7.3Erzeugendenfunktionen SeidieF

7.3 Erzeugendenfunktionen

F¨ ur lineare und nicht lineare Rekursionsgleichungen erh¨ alt man oft eine L¨ osung, indem man die f _n als Koeffizienten einer Potenzreihe betrachtet und eine geschlossene Form der dadurch definierten Funktion sucht.

Definition 6 (Erzeugendenfunktion)

Sei die Folge (f n ) n≥0 gegeben. Die zugeh¨ orige (gew¨ ohnliche) Erzeugendenfunktion ist

F (z) :=

∞

X

n=0

f n z ⁿ ; z ∈ C ;

exponentielle Erzeugendenfunktion ist

F (z) = X

n≥0

f n

n! z ⁿ ; z ∈ C .

EADS 7.3 Erzeugendenfunktionen 38/598

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Beispiel 7

1

Die Erzeugendenfunktion der Folge (1, 0, 0, . . .) ist

F (z) = 1 .

2

Die Erzeugendenfunktion der konstanten Folge (1, 1, 1, . . .) ist F (z) = 1

1 − z .

EADS 7.3 Erzeugendenfunktionen 39/598

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Falls F (z) = P

n>0

f _n z ⁿ , bezeichnet

[z ⁿ ]F (z) den n-ten Koeffizienten f _n .

EADS 7.3 Erzeugendenfunktionen 40/598

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Sei F (z) = P

n≥0

f _n z ⁿ und G(z) = P

n≥0

g _n z ⁿ .

ErzFkt. n-tes Folgenglied Anmerkungen:

cF cf

F + G f

+ g

F · G h

:=

P

f

g

(Konvolution) P

i≥0

f

z

! P

i≥0

g

z

!

= P

i≥0

h

z

(mit h

=

P

f

g

)

z

F if n < k then 0 else f

fi

F(z) 1−z

P

f

1−z

= P

n≥0

z

z

nf

R

F (t)dt if n = 0 then 0 else

fi f

z

geht ¨ uber auf f

F (cz) c

f

F (cz) = P

n≥0

f

c

z

EADS 7.3 Erzeugendenfunktionen 41/598

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Beispiel 8

F (z) := X

n≥0

2 ⁿ z ⁿ = 1 1 − 2z G(z) := X

n≥0

nz ⁿ = z (1 − z) ²

⇒ F (z)G(z) = z

(1 − z) ² (1 − 2z) = X

n≥0 n

X

i=0

(n − i)2 ⁱ z ⁿ

EADS 7.3 Erzeugendenfunktionen 42/598

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Partialbruchzerlegung:

z

(1 − z) ² (1 − 2z) =

(1)

z }| {

−2

(1 − z) + −z (1 − z) ² +

(2)

z }| { 2 1 − 2z

= X

n≥0

2 ⁿ⁺¹ z ⁿ

| {z }

(2)

− X

n≥0

nz ⁿ − 2 X

n≥0

z ⁿ

| {z }

(1)

;

Also:

n

X

i=0

2 ⁱ (n − i) = [z ⁿ ](F G)(z)

= [z ⁿ ]



 X

n≥0

(2 ⁿ⁺¹ − n − 2)z ⁿ





= 2 ⁿ⁺¹ − n − 2 .

EADS 7.3 Erzeugendenfunktionen 43/598

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7.4 Transformation des Definitions- bzw. Wertebereichs Beispiel 9

f 0 = 1 f 1 = 2

f _n = f n−1 · f n−2 f¨ ur n ≥ 2 . Setze

g _n := log f _n . Dann gilt

g _n = g n−1 + g n−2 f¨ ur n ≥ 2

g ₁ = log 2 = 1, g ₀ = 0 (f¨ ur log = log ₂ ) g n = F n (n-te Fibonacci-Zahl)

f n = 2 ^F

EADS 7.4 Transformation des Definitions- bzw. Wertebereichs 44/598 ľErnst W. Mayr

Beispiel 10

f 1 = 1 f n = 3f

2

+ n; f¨ ur n = 2 ^k ; Setze

g _k := f ₂

.

EADS 45/598

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Beispiel 10 Dann gilt:

g 0 = 1

g _k = 3g k−1 + 2 ^k , k ≥ 1 Damit ergibt sich:

g _k = 3 ^k+1 − 2 ^k+1 , also f _n = 3 · 3 ^k − 2 · 2 ^k

= 3(2 ^{log 3} ) ^k − 2 · 2 ^k

= 3(2 ^k ) ^{log 3} − 2 · 2 ^k

= 3n ^{log 3} − 2n .

EADS 7.4 Transformation des Definitions- bzw. Wertebereichs 45/598 ľErnst W. Mayr

Kapitel II H¨ ohere Datenstrukturen

1. Grundlegende Operationen

Es sei U das Universum von Schl¨ usseln mit einer (totalen) Ordnung ≤. S ⊆ U sei eine Teilmenge der Schl¨ ussel. Gegeben seien eine Menge von Datens¨ atzen x ₁ , · · · , x _n , wobei jeder Datensatz x durch einen Schl¨ ussel k(x) ∈ S gekennzeichnet ist.

Jeder Datensatz x besteht aus seinem Schl¨ ussel k(x) und seinem eigentlichen Wert v(x).

EADS 1 Grundlegende Operationen 46/598

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IsElement(k, S ): ist k ∈ S, wenn ja, return v(k) Insert(k, S): S := S ∪ {k}

Delete(k; S): S := S \ {k}

FindMin(S): return min S FindMax(S): return max S DeleteMin(S): S := S \ min S

ExtractMin(S): return min S, S := S \ min S DecreaseKey(k, ∆, S): ersetze k durch k − ∆ Union(S 1 , S 2 ): S 1 := S 1 ∪ S 2

Find(k): falls k ∈ S, so finde x mit k = k(x) Merge(S 1 , S 2 ): S 1 := S 1 ∪ S 2 , falls S 1 ∩ S 2 = ∅ Split(S 1 , k, S 2 ): S 2 := {k ⁰ ∈ S 1 |k ⁰ ≥ k}

S 1 = {k ⁰ ∈ S 1 |k ⁰ < k}

Concatenate(S 1 , S 2 ): S 1 := S 1 ∪ S 2 ;

Vorauss.: FindMax(S ₁ ) ≤ FindMin(S ₂ )

EADS 1 Grundlegende Operationen 47/598

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Datenstrukturklasse mindestens angebo- realisiert in tene Funktionen

W¨ orterbuch IsElement(), Hashtable, (Dictionary) Insert(), Delete() Suchb¨ aume Vorrangwarteschlange FindMin(), Insert(), balancierte, leftist (Priority Queue) Delete(), B¨ aume, Binomial

[IsElement()] Queues Mergeable heaps FindMin(), 2-3-B¨ aume,

Insert(), Delete(), Binomial Queues, Merge() Leftist-B¨ aume Concatenable queues FindMin(), 2-3-B¨ aume

Insert(), Delete(), Concatenate()

EADS 1 Grundlegende Operationen 48/598

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