UBUNGEN ZUR VARIATIONSRECHNUNG IM SS 2011¨ BLATT 2 (BESPRECHUNG AM 17. M ¨ARZ)
SABINE HITTMEIR
Aufgabe 1. Existiert eine L¨osung u ∈ U ={u ∈ C1([−1,1],R) : u(−1) = −1, u(1) = 1}, die das Funktional
F(u) = Z 1
−1
x2(u0(x))2dx minimiert?
Die Aufgaben 2-4 behandeln SPEZIALF ¨ALLE der LAGRANGE-FUNKTIONEN und die daraus resultierenden EULER-LAGRANGE GLEICHUNGEN (ELG). Es seien dabei jeweils n=N = 1 und
(1) U ={u∈C1[x1, x2] : u(x1) =u1, u(x2) =u2}.
Aufgabe 2. Der Fall F(x, z, p) =F(p). Wir betrachten auf U F(u) =
Z x2
x1
F(u0(x))dx → min
Die ELG ergeben dxd dpdF(p) = 0, und somit dpdF(p) = konst.Dann ist
¯
u(x) = u2−u1
x2−x1(x−x1) +u1 L¨osung dieser Gleichung, die obige Randbedingungen erf¨ullt.
(i) Zeigen Sie folgende Aussage: WennF konvex ist, dann ist ¯u eine Minimalstelle. Hin- weis: Verwenden Sie die Jensensche Ungleichung.
(ii) Wenn F nicht konvex ist, hat das Variationsproblem i.A. keine L¨osung (insb. ist ¯u nicht notwendigerweise eine Minimalstelle.)
Demonstrieren Sie dies am Beispiel: F(p) =e−p2 mit den RBu(0) =u(1) = 0.
Aufgabe 3. Der Fall F(x, z, p) =F(x, p).Wir betrachten auf U F(u) =
Z x2
x1
F(x, u0(x))dx → min Die ELG ergeben wieder ∂p∂ F(x, p) = konst.L¨osen Sie die ELG
(i) f¨urF(x, p) =xp 1 +p2
sabine.hittmeir@tuwien.ac.at.
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(ii) f¨ur die Brachistochrone von Bsp 2.2 im VO-Skriptum (Hr. Arnold):F(x, p) = q1+p2
x
undu(0) = 0, u(b1) =b2. Die Integration der Gleichungu0=q
x
D−x muss nicht nach- gerechnet werden; die L¨osung kann vom Skriptum ¨ubernommen werden.
Aufgabe 4. Der Fall F(x, z, p) =F(z, p).Wir betrachten auf U F(u) =
Z x2
x1
F(u(x), u0(x))dx → min (i) Zeigen Sie, dass die FunktionH definiert durch
H(u, u0) =u0 ∂
∂pF(u, u0)−F(u, u0).
konstant ist entlang jedes Extremums u∈C2(x1, x2)∩U.
(ii) Verwenden Sie (i), um die Extremalstellen des Funktionals der minimalen Rotations- fl¨ache von Aufgabe 4 auf Blatt 1 zu berechnen: F(z, p) = zp
1 +p2. Ist die L¨osung eindeutig?
Aufgabe 5. Es soll die Form einerSeifenblase berechnet werden, die in einem kreisf¨ormigen Drahtring eingespannt ist:
Ist Ω = {x ∈ R2| |x| < 1} das Innere des Kreisrings, und ist D > 0 der Druckunterschied unter- und oberhalb der Seifenhaut, dann minimiert deren H¨ohenfunktionu ∈C1(Ω;R) das Energiefunktional
F(u) = 2σ Z
Ω
p1 +|∇u(x)|2dx+D Z
Ω
u(x)dx.
(i) Vereinfachen Sie das Energiefunktional unter der Annahme, dassueine radialsymme- trische Funktion ist, d.h.,u(x) = ˜u(|x|). Im Ergebnis sollten Sie ein neues Funktional F˜ erhalten, das auf den Funktionen ˜u∈C1([0,1];R) definiert ist.
(ii) Stellen Sie Bedingungen an die Koeffizientenσ undDauf, unter denen das reduzierte Problem eine lokale Extremalstelle besitzt und berechnen Sie diese.
