98 f ( x )=cos(60 x ) N =8 , 16 , 32 , 64 , 128 256 f ( x )=sin(10 x ) p ( x ) N> 2 M fM p ( x ) | f ( x ) − p ( x ) |≤ 2 | f ( k ) | ˆ X f : R → C 2 π C ([0 , 2 π ]) f ( k ) ˆ X 4 2008

Spektralmethoden Mathematik,FS

2008

Prof. D. Cohenund I. Sim UniversitätBasel

Serie

4

1.

a) Finden Sie ein Algorithmus von der IDFT für die reelle Folge (vgl. Aufgabe 4,

Serie 3).

b)Implementieren SiedieIDFT fürdiereelle Folgeaus der Aufgabe 6inder Serie2.

2.

Beweisen Sie diefolgendenProbleme:

a) Sei

f : R → C

2 π

C ¹ ([0 , 2 π ])

X

k∈Z

f ˆ ( k )

diegleihmässigkonvergiert.Dann hat man

|f(x) − p _N (x)| ≤ 2 X

|k|≥N/2

′ | f(k)| ˆ

für das trigonometrishe Polynom

p _N (x)

b)FallsdiemaximaleFrequenz vonder Funktion

f M

p _N (x)

N > 2M

3.

a) Shreiben Sie 2 Matlab-Funktionenmyfft und myifft, um die FFT bzw. IFFT

zu berehnen.

b) Als Testbeispiel nehmen Sie die folgenden Funktionen

f ₁ (x) = sin(10x)

f ₂ (x) = cos(60x)

N = 8, 16, 32, 64, 128

256

)Plotten Siedas Amplitudenspektrum mitHilfe der FFT.

4.

LadenSiedieDatenfiltre.data aufderWebseiteder Vorlesungherunter.MitHilfe

vonden Matlab-Befehlen fopenund fsanf plottenSiedie Daten. Benutzen SieIhr

Programmmyfft, um diekleinen Frequenzen zu löshen.

5.

Laden SiedieDaten haendel.data auf der Webseiteder Vorlesungherunter. Benut-

zen Sie dieMatlab-Funktion fft, um mitden Frequenzen zu spielen;man kann z.B.

dieFrequenzen löshen,die kleiner als

98

MitdemMatlab-Befehlwavwrite kann manein-.wav-Fileherstellen.Benutzen Sie

z.B. einProgrammplaywave auf der Konsole, um mitdem File zu spielen.