Es sei Ω⊂Rdein beschr¨anktes und konvexes Gebiet, undF :R×Rd→Rsei eine glatte Funktion

UBUNGEN ZUR VARIATIONSRECHNUNG IM SS 2011¨ BLATT 4 (BESPRECHUNG AM 31. M ¨ARZ)

SABINE HITTMEIR

Aufgabe 1. Es sei Ω⊂R^dein beschr¨anktes und konvexes Gebiet, undF :R×R^d→Rsei eine glatte Funktion. Zu untersuchen ist die Konvexit¨at des Funktionals F : C¹(Ω) → R, definiert durch

F(u) = Z

Ω

F u(x),∇u(x) dx.

Zeigen Sie:

(i) Ist F konvex, d.h. ∀λ∈(0,1), ∀z1, z2 ∈R, ∀p1, p2 ∈R^d gelte (∗) F (1−λ)z₁+λz₂,(1−λ)p₁+λp₂

≤(1−λ)F(z₁, p₁) +λF(z₂, p₂) so ist auchF konvex.

(ii) IstF konvex und gilt zus¨atzlich die strikte Ungleichung in (∗) f¨ur beliebigez1 6=z2 ∈ R,p₁, p₂ ∈R^d und λ∈(0,1), so istF strikt konvex.

(iii) IstF konvex und gilt zus¨atzlich die strikte Ungleichung in (∗) f¨ur beliebigez₁, z₂ ∈ R, p₁ 6=p₂ ∈R^d und λ ∈ (0,1), so ist F strikt konvex “modulo Konstanten”, d.h.

falls

F λu+ (1−λ)v

=λF(u) + (1−λ)F(v), dann istu−v konstant in Ω.

Aufgabe 2. Gegeben ist einλ-konvexesFunktionalF :C₀¹[0,1]→R; das heißt, es existiert ein λ >0, so dass

F (1−σ)u+σv

≤(1−σ)F(u) +σF(v)−λ

2σ(1−σ) Z 1

0

|u(x)−v(x)|²dx f¨ur alle u, v ∈C₀¹[0,1] und alle σ ∈[0,1].

Es sei ¯u∈C₀¹[0,1] ein station¨arer Punkt von F. Beweisen Sie:

(i) ¯uist die globale Minimalstelle.

(ii) F¨ur alle u∈C₀¹[0,1] gilt:

λ 2

Z 1

0

[u(x)−u(x)]¯ ²dx ≤ F(u)− F(¯u).

sabine.hittmeir@tuwien.ac.at.

1

Sei nun weiterhinU ⊂C₀¹[0,1] konvex derart, daß f¨ur jedesu∈U einGradient ζ_u ∈L²(0,1) existiert; das heißt,F ist bei uFr´echet-differenzierbar undζ_u ist die Riesz-Darstellung der Fr´echet-Ableitung DF(u) in L²(0,1):

δF(u)[ξ] = Z 1

0

ζ_u(x)ξ(x)dx f¨ur alle ξ ∈C₀¹[0,1]. Sei nun ¯u∈U station¨arer Punkt.

(iii) Zeigen Sie, dass f¨ur alle u∈U:

2λ[F(u)− F(¯u)]≤ Z 1

0

ζ_u(x)²dx.

Aufgabe 3. Es sei f ∈ C^∞(R) eine konvexe Funktion mit Minimum am Punkt y = 0.

Wir definieren das FunktionalF :C₀¹[0,1]→R durch F(u) =

Z 1

0

u⁰(x)²+f(u(x)) dx.

(i) Ermitteln Sie die globale Minimalstelle ¯u von F.

(ii) Beweisen Sie, dass F ein λ-konvexes Funktional ist und geben Sie eine passen- de Konstante λ > 0 an. Hinweis: Die Konstante der Poincare-Ungleichung mit L²(0,1)-Normen ist 1/π.

(iii) F¨ur alle u ∈ U := C²[0,1]∩C₀¹[0,1] besitzt u einen Gradienten ζ_u (im Sinne von Aufgabe 2). Berechnen Sie diesen.

Die (notwendige) Weierstraß-Bedingung f¨ur starke Minimalstellen:

Sei F =F(x, z, p) in C¹([x₁, x₂]×R×R) und sei F(u) =

Z x2

x1

F(x, u(x), u⁰(x))dx

definiert auf U ={u∈C¹[x₁, x₂] :u(x₁) = u₁, u(x₂) =u₂}. Wir definieren die Weierstraß- sche Exzessfunktion E_F : [x₁, x₂]×R×R×R→R durch

E_F(x, z, p, q) = F(x, z, q)−F(x, z, p)−(q−p)F_p(x, z, p) Dann gilt folgenderSatz:

Sei u ∈ U eine starke (lokale) Minimalstelle von F. Dann erf¨ullt u die Weierstraß- Bedingung

(WB) E_F(x, u(x), u⁰(x), q)≥0 ∀x∈[x₁, x₂], ∀q∈R.

Aufgabe 4.

(i) Zeigen Sie, dass u∗ ≡ 0 in Aufgabe 4 von Blatt 3 nicht die strikte Legendre- Hadamard Bedingung erf¨ullt.

(ii) Zeigen Sie anhand der (WB), dass u∗ ≡ 0 in Aufgabe 3 von Blatt 3 keine starke Minimalstelle ist.

Aufgabe 5. Es sei auf U =

u ∈ C¹[0,1] : u(0) = 0, u(1) = 1/√

2 das Funktional F :U →R gegeben durch

F(u) = Z 1

0

1−(u⁰(x))²2

dx . Zeigen Sie, dass u∗(x) = x/√

2 eine schwache, aber keine starke lokale Minimalstelle von F ist.