Sei D ein beschr¨ anktes Gebiet, dessen Rand sich aus entgegen dem Uhrzeigersinn orientierten (Gebiet liegt

Residuensatz

Sei D ein beschr¨ anktes Gebiet, dessen Rand sich aus entgegen dem Uhrzeigersinn orientierten (Gebiet liegt

” links“) st¨ uckweise stetig differenzierbaren Kurven C _k zusammensetzt.

C a1

a2

aj

D C

Dann gilt f¨ ur eine in D stetige und in D bis auf endlich viele Singularit¨ aten a j analytische Funktion f

Z

C

f (z) dz = 2πi

n

X

j =1

Res a

f , C = X

k

C _k .

Residuensatz 1-1

Beweis:

C _j ⊂ D: im Uhrzeigersinn orientierter Kreis um a _j

C a

C

a

C

a

C

D C

f analytisch auf dem durch C + C 1 + · · · + C n berandeten Gebiet

Residuensatz 2-1

Cauchys Theorem = ⇒ 0 =

Z

C+C

+···+C

f (z) dz = Z

C

f (z ) dz +

n

X

j =1

Z

C

f (z ) dz

Definition des Residuums = ⇒ Z

C

f (z) dz = −2πi Res

a

f

(Minus-Zeichen aufgrund der Orientierung der Kreise) Einsetzen in die Identit¨ at f¨ ur R

C +C

+···+C

. . . behauptete Formel

Residuensatz 2-2

Beispiel:

illustriere den Residuensatz f¨ ur f (z) = 1 − z

z ² + z ³ = 1 − z z ² (1 + z)

und C den entgegen dem Uhrzeigersinn orientierten Kreis um 0 mit Radius 2

(i) z = 0: Polstelle zweiter Ordnung Res 0 f = lim

a→0

1 1!

d

dz (z ² f (z)) _z=0

= d

dz

1 − z 1 + z

_z=0

= − 2

(1 + z ) ² _z=0

= −2 (ii) z = −1: einfache Polstelle

Res −1 f = lim

z→−1 (1 + z)f (z ) = 1 − z z ²

_z=−1

= 2

Residuensatz 3-1

Residuensatz = ⇒ Z

C

f (z) dz = 2πi (Res

0 f + Res

−1 f ) = 2πi (−2 + 2) = 0

Residuensatz 3-2