Aufgabe I.1 Sei Ω⊂Rdein Gebiet mit Lipschitz-Rand

Moritz Kaßmann

Fakult¨at f¨ur Mathematik

Sommersemester 2012 Universität Bielefeld

Aufgaben und Projekte zur Vorlesung Partielle Differentialgleichungen III

Dienstag, 13.11.12

Sobolevr¨aume gebrochener Ordnung auf offenen Teilgebieten des R^d k¨onnen mit Hilfe von Doppelintegralen definiert werden. Auf diesem Projektzettel werden zwei besondere Ph¨anomene bzw. Gegenbeispiele diesbez¨uglich untersucht.

Aufgabe I.1

Sei Ω⊂R^dein Gebiet mit Lipschitz-Rand. Wir betrachten den Raum W₀^s,p(Ω), der als Abschluss derC_c^∞(Ω)-Funktionen bzgl. der Norm

kuk_Lp(Ω)+ ˆ

Ω

ˆ

Ω

|u(y)−u(x)|^p

|x−y|^d+sp dxdy¹_p

definiert wird. In der Aufgabe soll gezeigt werden, dass f¨ur 0 < s ≤ ¹₂ und p > 1 Funktionenu∈W₀^s,p(Ω) nicht “Null“ am Rand ∂Ω sein m¨ussen¹. Seien also 0< s≤ ¹₂, p >1 undc≥1. Es sei (u_n) eine Folge in C_c^∞(Ω) mit

(i) un= 1 auf An= x∈Ω

dist (x, ∂Ω)> _2n¹ . (ii) u_n= 0 auf Ω\A_2n.

(iii) 0≤un≤1 und |∇u_n| ≤cn in Ω.

Beweisen Sie folgende Aussagen:

(1) Im Fall 0< s < ¹₂ gilt f¨urn→ ∞ ˆ

Ω

|u_n(x)|^p

dist (x, ∂Ω)^ps dx→ ˆ

Ω

dx

dist (x, ∂Ω)^2s <∞, ˆ

Ω

ˆ

Ω

|u_n(y)−un(x)|^p

|x−y|^d+sp dxdy→0.

(2) Im Falls= ¹₂ gilt

ˆ

Ω

|u_n(x)|^p

dist (x, ∂Ω)^ps dx→ ∞ f¨urn→ ∞, ˆ

Ω

ˆ

Ω

|u_n(y)−un(x)|^p

|x−y|^d+sp dxdy≤K f¨ur alle n∈N.

Hinweis: Beschr¨anken Sie sich ruhig auf den eindimensionalen Fall, Ω = (0,1) und die Funktionenu_n: (0,1)→R, gegeben durch:u_n(x) = 0 f¨ur 0< x≤ _4n¹ und 1−_4n¹ ≤x <1, un(x) = 1 f¨ur _2n¹ < x <1−_2n¹ und ansonsten linear mit stetigem ¨Ubergang.

1Im Fall 0< s≤ ¹₂ beschreibt die Hardy-Ungleichung sehr gut, in welcher Weise die Funktionen gegen Null konvergieren in der N¨ahe des Randes. Quelle: B. Dyda, “A fractional order Hardy inequality.”

Illinois J. Math. 48 (2004), no. 2, 575–588. Dort findet sich auch die L¨osung der obigen Aufgabe.

Aufgabe I.2

F¨ur beschr¨ankte Gebiete Ω⊂R^d,d≥3, mit Lipschitz-Rand ist die Einbettung W^1,p(Ω),→L^p(Ω)

f¨ur 1≤p < dbekanntlich kompakt. Ebenso ist die EinbettungW^s,p(Ω),→L^p(Ω) im Fall p≥1,sp < d kompakt. In dieser Aufgabe² soll gezeigt werden, dass man diese Aussage f¨ur Gebiete Ω⊂R^d, deren Rand∂Ω nicht lipschitz-regul¨ar ist, nicht erwarten kann.

Wir beschr¨anken uns auf p = 2, d = 2. Wir betrachten eine Folge von Radien (a_k)k∈N

mita_k = _C¹k, wobei C > 10 eine beliebige Zahl ist. Sei B_k ⊂R² die Kugel mit Radius a²_k mit Mittelpunkt (0, a_k)∈R². Sei Ω =

∞

S

k=1

B_k.

(a) Zeigen Sie, dass Ω kein Gebiet mit Lipschitz-Rand ist.

Wir definieren eine Folgeu_n: Ω→Rdurch

u_n(x) = ( ₁

a²_n√

π f¨urx∈B_n 0 f¨urx∈Ω\B_n. (b) ¨Uberpr¨ufen Sie: F¨ur jedesn∈Ngiltku_nk_L2(Ω) = 1.

(c) Beweisen Sie: Die Folge (u_n) besitzt keine Teilfolge, welche inL²(Ω) konvergiert.

(d) Beweisen Sie: Es gibtK ≥1 derart, dass f¨ur jedes n∈N gilt ˆ

Ω

ˆ

Ω

|u_n(y)−un(x)|²

|x−y|^d+2s dxdy ≤K .

(e) Machen Sie sich klar, dass Sie durch (a)-(d) gezeigt haben, dass die Einbettung W^1,p(Ω),→L^p(Ω) in diesem Fall nicht kompakt ist.

2Quelle: E. Di Nezza, G. Palatucci, E. Valdinoci, “Hitchhiker’s guide to the fractional Sobolev spaces“, http://arxiv.org/abs/1104.4345, siehe letzter Abschnitt.

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