Lebesgue- und Sobolevr¨ aume

Lebesgue- und Sobolevr¨ aume

Sabine Mandel

Ludwig–Maximilians–Universit¨ at

H¨ uttenseminar 7.1.2015-10.1.2015

1

Lebesguer¨ aume

2

Die Schwache Ableitung

3

Sobolevr¨ aume

Lebesguer¨ aume

Sei 1 ≤ p ≤ ∞, G ⊆ R.

L

(G ) = {f : G → R | f Lebesgue-messbar mit ||f ||

< ∞}

||f ||

=



 

  R

G

|f (x) |

dx

f¨ ur p < ∞

N⊂G

inf

N Nullmenge

sup

G\N

|f (x) | f¨ ur p = ∞

L

(G) = {f : G → R | ∀G

⊂⊂ G , G

offen : f |

∈ L

(G

)}

Lebesguer¨ aume

Satz von Fischer-Riesz

L

mit || · || ist vollst¨ andig, also ein Banachraum.

Sei < f , g >

= R

G

fg ein Skalarprodukt.

⇒ L

(G ) mit < f , g >

ist ein Hilbertraum.

Lebesguer¨ aume

Betrachte f : [1, ∞ ) → R mit f (x) :=

.

f ∈ / L

: R

1

|

| dx = R

1

x

dx = lim

a→∞

R

1 x

dx =

a→∞

lim [ln (x)]

= lim

a→∞

[ln (a) − ln (1)] = ∞ f ∈ L

: R

1

|

|

dx

=

a→∞

lim R

1

x

dx

=

a→∞

lim [−

]

=

a→∞

lim [−

+ 1]

= 1

= 1 < ∞

Schwache Ableitung

Sei α ∈ N

, u, υ

∈ L

(G), und ϕ ∈ C

(G ) Testfunktion.

Falls gilt: R

G

uD

ϕ = (−1)

R

G

υ

ϕ f¨ ur alle ϕ, dann ist υ

die schwache Ableitung von u mit υ

= D

u, wobei gilt:

C

(G ) = {ϕ ∈ C

(G ) | supp ϕ = {x ∈ G | ϕ (x) 6= 0} ⊂

G kompakt}

Schwache Ableitung

f : G → R, f (x) = |x|, G =] − 1, 1[⊂ R, α = 1. Dann gilt:

f

(x) = sgn (x) =



 

 

1 x > 0 beliebig x = 0

−1 x < 0

f : ]0, 2[→ R, f (x) =

( x x ∈ ]0, 1]

1 x ∈ ]1, 2[ , α = 1. Dann gilt:

f

(x) =

( 1 x ∈ ]0, 1]

0 x ∈ ]1, 2[

Schwache Ableitung

Sei ϕ ∈ C

(]0, 2[) beliebig.

R

0

f (x) ϕ

(x) dx = R

0

xϕ

(x) dx + R

1

1ϕ

(x) dx

= [xϕ (x)]

− R

0

ϕ (x) dx + [ϕ (x)]

= − R

0

ϕ (x) dx + ϕ (2)

= − R

0

ϕ (x) dx + 0 = − R

0

f

(x) ϕ (x) dx − R

1

f

(x ) ϕ (x) dx

= − R

0

f

(x) ϕ (x) dx

Sobolevr¨ aume

Sei p ∈ [1, ∞], m ∈ N

.

H

(G ) = {u ∈ L

(G ) | u besitzt υ

∈ L

(G ) f¨ ur 0 ≤ |α| ≤ m}

||u||

=



 

 

 



 

 

 



m

P

|α|=0

||D

u ||

!

p

f¨ ur p < ∞

m

P

|α|=0

||D

u||

f¨ ur p = ∞

Sobolevr¨ aume

Eigenschaften Schwacher Ableitungen Seien u, v ∈ H

, |α| < m.

Linearit¨ at: ∀λ, µ ∈ R : λu + µv ∈ H

und D

(λu + µv) = λD

(u) + µD

(v )

F¨ ur G

⊂ G offen gilt: u ∈ H

(G

)

Unabh¨ angigkeit der Ableitungsreihenfolge: Seien α, β mit

|α| + |β | < m. Dann gilt: D

D

u

= D

(D

u) = D

u

Dimensionsabh¨ angig: |x|

∈ H

⇔ s > 1 −

Sobolevr¨ aume

F¨ ur 1 ≤ p ≤ ∞, m ∈ N

gilt: H

ist ein Banachraum.

Sei < u, v >

=

m

P

|α|=0

< D

u, D

v >

ein Skalarprodukt.

⇒ H

(G ) mit < u, v >

ist ein Hilbertraum.

Sobolevr¨ aume

Sei (υ

)

⊆ H

(G ) CF. Es gilt:

||D

υ

− D

υ

||

≤ ||υ

− υ

||

also folgt: (D

υ

)

CF.

Sei υ

∈ L

(G ) mit ||D

υ

− υ

||

→

k→∞

0, υ = υ

, ϕ ∈ C

(G ).

Es gilt: R

G

υD

ϕ = (−1)

R

G

υ

ϕ, und somit folgt:

υ

= D

υ.

Sobolevr¨ aume

Sei m ∈ N

, 1 ≤ p < ∞.

◦

H

(G ) = C

(G )

ist ein Banachraum, wobei:

C

(G ) = {ϕ ∈ C

(G) | suppϕ ⊂ G kompakt}

Sobolevr¨ aume

F¨ ur

+

= 1 definieren wir:

H

(G ) =

H

(G )

||f ||

(G)

= sup

υ∈H^◦m,p(G)\{0}

|f(υ)|

||υ||_Hm,p(G)

.

Sobolevr¨ aume

Seien j ∈ {1, ..., n}, g ∈ L

(G ) fest.

− R

G

D

υg = f (υ) mit f ∈ H

(G) f¨ ur m ∈ N. f ist linear.

∀υ ∈ H

(G ) :

|f (υ) | ≤ R

G

|D

υ||g | ≤ ||D

υ||

||g ||

≤ ||υ||

||g ||

⇒ ||f ||

(G)

≤ ||g ||