M¨unchen,17.02.12 StephanieNeumeir Sobolevr¨aume

Sobolevr¨ aume

Stephanie Neumeir

LMU Munich, Germany

M¨ unchen, 17.02.12

Schwache Ableitungen

Sobolev-R¨ aume

Dirichlet-Problem zur Poisson-Gleichung

Ω ⊂ R ^d offen, beschr¨ ankt mit gen¨ ugend glattem Rand Ges.: L¨ osung u ∈ C ² (Ω) ∩ C ^◦ Ω

des Randwertproblems

∆u = f auf Ω u = 0 auf ∂Ω wobei f ∈ C ^◦ Ω

. Wir wissen: u gen¨ ugt

Z

Ω

∇u · ∇ηdx = − Z

Ω

f ηdx ∀η ∈ C ₀ ¹ (Ω)

Verschiedene Definitionen

i) ∆ ^h _γ u ^h→0 −→ w _γ in L ¹ _loc (Ω), wobei h ∈ R mit 0 < |h| < dist(ω, ∂Ω) und w γ γ-te schwache Ableitung von u.

ii) γ ∈ {1, . . . , d }, u, w γ ∈ L ¹ _loc (Ω)

w _γ γ-te schwache Ableitung von u, falls ∃(u _n ) ⊂ C ^∞ (Ω) mit u _n → ⁿ u und ∂ γ u n

→ n w γ in L ¹ _loc (Ω)

Konzept der Distributionsableitung

u ∈ C ¹ (Ω), w γ ∈ L ¹ _loc (Ω) und γ ∈ {1, . . . , d }, sodass Z

Ω

u∂ _γ ηdx = − Z

Ω

w _γ ηdx ∀n ∈ C ₀ ^∞ (Ω) Partielle Integration:

Z

Ω

u∂ _γ ηdx = Z

Ω

w _γ η dx ∀n ∈ C ₀ ^∞ (Ω) Fundamentallemma der Integrationsrechnung:

w _γ = ∂ _γ u

Definition: Schwache Differenzierbarkeit

Ω ⊂ R ^d offen, γ ∈ N ^d ₀ , k ∈ N 0 , u, w ^γ ∈ L ¹ _loc (Ω)

w ^γ heißt die γ-te schwache (partielle) Ableitung von u, falls Z

Ω

u∂ ^γ η dx = (−1) ^|γ|

Z

Ω

w ^γ η dx ∀η ∈ C ₀ ^∞ (Ω)

u heißt k-mal schwach differenzierbar auf Ω, falls ∀γ ∈ N ^d ₀ mit |γ| ≤ k ein w ^γ ∈ L ¹ _loc (Ω) existiert.

Raum: W ^k (Ω)

Definition: Sobolev-Raum

Ω ∈ R ^d offen, 1 < p ≤ ∞, k ∈ N 0 . Der lineare Raum

W ^{k ,p} (Ω) := {u ∈ W ^k (Ω) : ∂ ^γ u ∈ L ^p (Ω) ∀γ ∈ N ^k 0 mit |γ| ≤ k } heißt Sobolev-Raum mit Differenzierbarkeitsstufe k und

Integrabilit¨ atsexponent p.

Normen auf W ^{k ,p} (Ω)

kuk _k,p := kuk _Ω,k,p :=



 

 



 

 

 P

|γ|≤k

k∂ ^γ uk ^p _p

!

p < ∞

|γ|≤k max k∂ ^γ uk _∞ p = ∞ Definition:

Normalabschluss ˚ W ^k,p (Ω) von C ₀ ^∞ (Ω) in W ^k,p (Ω) Ω ⊂ R ^d offen, 1 ≤ p ≤ ∞, k ∈ N 0

W ˚ ^{k ,p} (Ω) := C ₀ ^∞ (Ω) ^k·k

Satz:

Sei Ω ⊂ R ^d offen, 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞, k, l ∈ N 0 mit k ≥ l. Dann gilt:

i) Die Einbettungen W ^k,p (Ω) , → W ^l,p , → L ^p (Ω) sind linear und stetig.

ii) Ist L ^d (Ω) < ∞, so ist W ^{k ,q} (Ω) , → W ^k,p (Ω) stetig.

iii) F¨ ur p < ∞ liegt W ^k,p (Ω) (bez¨ uglich k · k _p ) dicht in L ^p (Ω).

Satz:

D := #{γ ∈ N ^d 0 : |γ | ≤ k} mit k ∈ N , 1 ≤ p ≤ ∞ Φ : W ^{k ,p} (Ω) → L ^p (Ω) ^D mit Φu := (∂ ^γ u) _|γ|≤k

Φ ist eine lineare Isometrie und der Unterraum W ^k,p (Ω) ist abgeschlossen in L ^p (Ω) ^D .

kuk _k,p = kΦuk _p ∀u ∈ W ^{k ,p} (Ω)

Beweis f¨ ur k = 1:

(u m ) ⊂ W ^1,p (Ω) Folge, s.d. Φu m = (u m , ∇u _m ) konvergiert in L ^p (Ω) ^1+d . Also u _m →: ^m u und ∇u _m →: ^m v mit u ∈ L ^p (Ω) und v ∈ L ^p (Ω) ^d .

Z

Ω

u div η dx = lim

m

Z

Ω

u _m div η dx

= − lim

m

Z

Ω

∇u _m η dx

= − Z

Ω

vη dx

Korollar

F¨ ur alle k ∈ N 0 und 1 ≤ p ≤ ∞ ist W ^{k ,p} (Ω) ein Banachraum bez¨ uglich der Norm k · k _k,p .

W ^{k ,2} (Ω) und ˚ W ^k,2 (Ω) sind Hilbertr¨ aume bez¨ uglich des Skalarprodukts hu, vi _k := hu, vi _W

(Ω) := X

|γ|≤k

Z

Ω

∂ ^γ u∂ ^γ v dx

Satz

Sei k ∈ N 0 , 1 ≤ p < ∞, u _m , u ∈ W ^k,p (Ω). Dann sind ¨ aquivalent:

i) u _m → ^m u in W ^k,p (Ω)

ii) ∀ϕ ∈ L ^p

gilt R

Ω ∂ ^γ u m ϕ dx → ^m R

Ω ∂ ^γ uϕ dx

Satz: Schwaches Auswahlprinzip in W ^{k ,p}

Sei k ∈ N 0 , 1 < p < ∞ und (u _m ) ⊂ W ^k,p (Ω) beschr¨ ankte Folge (sup _m ku _m k _k,p < ∞).

Dann existiert eine Teilfolge (u _m

) von (u _m ) und eine Funktion u ∈ W ^k,p (Ω), sodass gilt:

u _m

→ ^k u in W ^k,p (Ω)