J. M¨uller WiSe 2019/2020 20.11.2019
4. ¨Ubung zur H¨oheren Funktionentheorie
A13: Es seien Ω⊂Coffen undf ∈M(Ω). Zeigen Sie:
a) (1/f)#=f#.
b) Sind D ⊂ C offen und g ∈ H(D) mit g(D) ⊂Ω, so ist f◦g ∈ M(D) und es gilt die sph¨arische Kettenregel
(f ◦g)#= (f#◦g)|g0|.
A14: Es seien (K, dK) ein kompakter und (S, d) ein vollst¨andiger metrischer Raum. Zeigen Sie:
a) Sindfn, f ∈C(K, S) mitfn→f und ist (xn) eine Folge inK mit xn→a∈K, so gilt d(fn(xn), f(a))→0 (n→ ∞).
b) IstF ⊂C(K, S) relativ kompakt, so istF gleichgradig stetig.
A15: Es seien Ω ⊂ C offen und (fm) eine Folge in H(Ω) mit fm → f lokal gleichm¨aßig auf Ω.
Beweisen Sie: Ista∈Ω und istf nicht lokal konstant ana, so gilt f¨ur alle gen¨ugend kleinen r >0
X
z∈Ur(a)
n(fm, z) = X
z∈Ur(a)
n(f, z)
bis auf endliche vielem.
Hinweis: Satz von Rouch´e.
A16: Es sei Ω ⊂ C offen. Beweisen Sie: Ist (fn) eine Folge in M(Ω) mit fn →f sph¨arisch lokal gleichm¨aßig, so giltfn#→f#lokal norm-gleichm¨aßig.
Hinweis: Verwenden Sie Bemerkung 3.12.
