Dann ist auch 1/f auf P holomorph und Grenzwert einer konvergenten Potenzreihe g, so dass f ·g = 1 ist

§4 Der Weierstraß’sche Vorbereitungssatz

Mit C{z} bezeichnen wir den Ring der formalen Potenzreihen um den Nullpunkt.

Eine formale Potenzreihe f = P

ν≥0a_νz^ν heißt konvergent, falls sie in einem Polyzylinder P um den Nullpunkt konvergent ist. Die Menge H_n der konvergen- ten Potenzreihen bildet eine nullteilerfreie C-Algebra. Wir unterscheiden bei der Schreibweise meistens nicht zwischen einer Potenzreihe und der Funktion, gegen welche die Reihe konvergiert.

4.1. Satz

f ∈H_n ist genau dann eine Einheit, wenn f(0)6= 0 ist.

Beweis: Die eine Richtung ist klar. Ist umgekehrt f(0) 6= 0, so gibt es einen Polyzylinder P um Null, so dassf(z) auf P gegen eine holomorphe Funktion kon- vergiert, und man kann annehmen, dass f auf P keine Nullstelle besitzt. Dann ist auch 1/f auf P holomorph und Grenzwert einer konvergenten Potenzreihe g, so dass f ·g = 1 ist.

Definition

Eine TeilmengeI eines (kommutativen) Ringes Rheißt einIdeal inR, falls gilt:

1. Mit a, b∈I ist auch a+b∈I.

2. Ist a∈I und r∈R, so ist ra∈I.

Das Ideal heißt maximal, falls f¨ur jedes Ideal I⁰ mit I ⊂ I⁰ ⊂ R gilt: I⁰ = I oderI⁰ =R.

Die Menge m:={f ∈Hn : f(0) = 0} aller Nicht-Einheiten in Hn ist (offensicht- lich) ein Ideal, und es ist H_n = C⊕m. Der zusammengesetzte Homomorphismus C,→H_n →→H_n/m ist ein Isomorphismus mit Umkehrabbildung [f]7→f(0).

4.2. Satz

Das Ideal m der Nicht-Einheiten ist das einzige maximale Ideal in H_n.

Beweis: Ist a ⊂ H_n ein echtes Ideal, so kann es keine Einheit enthalten, muss also in mliegen.

Man nennt Hn eine lokale C-Algebra oder auch eine C-Stellenalgebra.

Jede formale Potenzreihe besitzt eine Darstellung f(z) =

∞

X

λ=0

f_λ(z₁, . . . , zn−1)z^λ_n.

Man nennt dies die Entwicklung von f nach z_n. Ist f konvergent, so sind auch die Reihen f_λ konvergent. Einen geeigneten Konvergenzbegriff in H_n besitzen wir leider nicht. Allerdings gibt es einen Polyzylinder, auf dem alle Reihenf_λ(z⁰) simul- tan konvergieren, und auf dem konvergiert dann auch die Reihe von holomorphen Funktionenf_λ(z⁰)z_n^λ. Das liegt an der absoluten Konvergenz der Reihen.

Definition

Ein Element f ∈ H_n heißt z_n-allgemein von der Ordnung k, falls es eine Potenzreihef(ze _n) in einer Variablen gibt, so dass gilt:

1. f(0, . . . ,0, z_n) =z_n^k·f(ze _n).

2. f(0)e 6= 0.

Ist f zn-allgemein von irgend einer endlichen Ordnung k ≥ 0, so nennt man f schlechthin z_n-allgemein.

Sei f(z) = P∞

λ=0f_λ(z⁰)z^λ_n die Entwicklung von f nach z_n. f ist genau dann z_n- allgemein von der Ordnung k, wenn f₀(0⁰) =· · ·=f_k−1(0⁰) = 0 und f_k(0⁰)6= 0 ist.

Dann ist fe(z_n) =P∞

ν=0f_k+ν(0⁰)z_n^ν.

f ist also genau dann z_n-allgemein, wenn f(0, . . . ,0, z_n)6≡0 ist.

Hier sind einige Eigenschaften:

1. f ist genau dann eine Einheit in H_n, wenn f z_n-allgemein von der Ordnung 0 ist.

2. Sind die Reihenf_λ z_n-allgemein von der Ordnungk_λ, f¨urλ = 1,2, so istf₁·f₂ z_n-allgemein von der Ordnungk₁+k₂.

Die zweite Eigenschaft ist klar, die erste sieht man so:

Istf(0)6= 0 undf(0⁰, z_n) = f₀(0⁰)+f₁(0⁰)z_n+· · ·, so muss offensichtlichf₀(0⁰)6= 0 sein, also f z_n-allgemein von der Ordnung 0. Die Umkehrung ist klar.

Es gibt ¨ubrigens Elemente f 6= 0 in Hn, die nicht zn-allgemein sind, auch nicht nach einer Permutation der Koordinaten.

Definition

Seic= (c₁, . . . , cn−1) ein Element desCⁿ⁻¹. Die lineare Abbildungσ_c:Cⁿ→Cⁿ mit

σc(z1, . . . , zn) := (z1 +c1zn, . . . , zn−1+cn−1zn, zn) nennt man eineScherung.

Die Menge Σ aller Scherungen bildet eine Untergruppe der Gruppe der linearen Automorphismen von Cⁿ, mit σ₀ = id_Cⁿ und σ_c1 ◦σ_c2 =σ_c1+c2.

Man kann schreiben:σ_c(z⁰, z_n) := (z⁰,0)+z_n·(c,1). Insbesondere istσ_c(e_n) = (c,1) und σ_c(0, . . . ,0, λ) = (λc, λ).

4.3. Satz

Istf ∈H_nein Element6= 0, so gibt es eine Scherungσ, so dassf◦σ z_n-allgemein ist. Dabei kann man σ beliebig nahe bei der Identit¨at w¨ahlen.

Beweis: Die Reihe f konvergiere im Polyzylinder P ={z∈Cⁿ : |z|< R}. Wir nehmen an, es gibt einen PolyzylinderQ={z⁰ ∈Cⁿ⁻¹ : |z⁰|< ε}mit 0< ε <1, so dassf◦σ_c(0, . . . ,0, z_n)≡0 f¨ur jedesc∈Qund jedesz_nmit (0, . . . ,0, z_n)∈σ_c⁻¹(P) ist. Dann istf(z_nc, z_n) =f ◦σ_c(0, . . . ,0, z_n)≡0 f¨ur solche c und z_n.

Sei α∈(0, R) und r >0, so dass [α−r, α+r]⊂(0, R) ist. Ist nun|z⁰|< ε(α−r) und |z_n−α| < r, so gibt es ein % mit 0 ≤ % < r und z_n = α +%e^it. Dann ist

|z_n| ≥ |α| − |%e^it|=α−% > α−r. Deshalb gilt f¨urc:= _z¹

nz⁰:

|c|< ε(α−r)

α−r =ε, also c∈Q.

Außerdem ist|z⁰|< R und|z_n| −α≤ |z_n−α|< r, also auch|z_n|< α+r < R und damit (znc, zn) = (z⁰, zn)∈P. Das bedeutet:

W :=Pⁿ⁻¹_ε(α−r)(0⁰)×D_r(α)⊂ {(λc, λ) : λ∈Cund c∈Q} ∩P.

Also verschwindet f auf der offenen Menge W identisch. Das kann aber nicht sein. Demnach gibt es eine Folge (cν) in Cⁿ⁻¹, die gegen 0⁰ konvergiert, so dass f ◦ σ_cν(0, . . . ,0, z_n) f¨ur kein ν identisch verschwindet. Also gibt es ein beliebig kleines c, so dass σ_c z_n-allgemein ist.

Bemerkung: Ist c0 ∈Cⁿ⁻¹ beliebig, so gibt es einc beliebig nahe bei 0⁰, so dass f ◦σ_c0+c= (f◦σ_c0)◦σ_c z_n-allgemein ist. Das bedeutet, daß die Menge der σ, f¨ur die f ◦σ z_n-allgemein ist, offen und dicht in Σ liegt.

Insbesondere kann man auch zu endlich vielen Elementenf1, . . . , fl 6= 0 in Hn eine Scherung σ finden, so daß f₁◦σ, . . . , f_l◦σ simultan z_n-allgemein sind.

Wir interessieren uns jetzt f¨ur Potenzreihen, die von einer Variablen polynomial abh¨angen. Ist f ∈H_n und f(z) =P∞

λ=0f_λ(z⁰)z_n^λ mit f_λ = 0 f¨urλ > s, so istf ein Element des Polynomringes Hn−1[z_n]. Ist f_s 6= 0, so ist deg(f) =s. Ist f normiert und f_λ(0⁰) = 0 f¨ur λ < s, so ist f z_n-allgemein genau von der Ordnung s, und es istf(0⁰, z_n) =z_n^s.

Definition

Ein normiertes Polynom ω ∈Hn−1[z_n] mit deg(ω) = s und ω(0⁰, z_n) = z_n^s nennt man ein Weierstraß-Polynom.

Ein normiertes Polynom ω ∈ H_n−1[z_n] mit deg(ω) = s ist genau dann ein Weierstraß-Polynom, wenn es z_n-allgemein von der Ordnung s ist. Es folgt leicht, dass das Produkt von zwei Weierstraß-Polynomen wieder ein Weierstraß-Polynom ist.

Ist g =e·ω das Produkt einer Einheit mit einem Weierstraß-Polynom vom Grad s, dann ist g auch z_n-allgemein von der Ordnung s, da die Einheit e z_n-allgemein von der Ordnung 0 ist.

Als n¨achstes betrachten wir symmetrische Polynome.

Definition

Ein Polynomp∈Z[u₁, . . . , u_s] heißt symmetrisch, falls f¨ur allei, j gilt:

p(u₁, . . . , u_i, . . . u_j, . . . , u_s) =p(u₁, . . . , u_j, . . . , u_i, . . . , u_s).

Ein Spezialfall sind die elementar-symmetrischen Polynome σ₁, . . . , σ_s, die folgendermaßen definiert werden:

σ₁(u₁, . . . , u_s) = u₁ +· · ·+u_s, σ₂(u₁, . . . , u_s) = X

i<j

u_iu_j,

...

σ_s(u₁, . . . , u_s) = u₁· · ·u_s.

Das folgende Resultat wird z.B. bei van der Waerden bewiesen, oder auch in dem Buch von Cox, Little und O’Shea (Chapter 7, §1, prop. 3).

4.4. Satz

Ist p∈Z[u₁, . . . , u_s] symmetrisch, so gibt es genau ein Polynom Q(y₁, . . . , y_s)∈ Z[y₁, . . . , y_s], so dass p=Q(σ₁, . . . , σ_s) ist.

Ein spezielles symmetrisches Polynom ist das Quadrat der Vandermonde-Determi- nante:

p_V(u₁, . . . , u_s) =Y

i<j

(u_i−u_j)²

Es gibt ein eindeutig bestimmtes PolynomQV(y1, . . . , ys) mit ganzzahligen Koeffi- zienten, so daß gilt:

p_V(u₁, . . . , u_s) = Q_V(σ₁(u₁, . . . , u_s), . . . , σ_s(u₁, . . . , u_s)).

Definition

Ist ω(u) = u^s +a₁u^s−1 + · · ·+ a_s ein normiertes Polynom in C[u], so heißt

∆ω =QV(−a1, a2, . . . ,(−1)^sas) die Diskriminante von ω.

Sind w₁, . . . , w_s die Nullstellen des Polynoms ω, so ist ω(u) = (u−w₁)(u−w₂)· · ·(u−w_s)

= u^s−X^s

i=1

w_i

u^s−1+X

i<j

w_iw_j

u^s−2+· · ·+ (−1)^sw₁· · ·w_s

= u^s−σ₁(w₁, . . . , w_s)u^s−1+σ₂(w₁, . . . , w_s)u^s−2+· · ·+ (−1)^sσ_s(w₁, . . . , w_s), also (−1)ⁱa_i =σ_i(w₁, . . . , w_s) f¨uri= 1, . . . , s. Damit ist ∆_ω =p_V(w₁, . . . , w_s), und

∆ω = 0 genau dann, wenn es ein Paari6=j mit wi =wj gibt.

4.5. Beispiel

Sei ω(u) =u²−au+b. Zur Berechnung der Diskriminante benutzen wir p_V(u₁, u₂) =Y

i<j

(u_i−u_j)² = (u₁−u₂)² = (u₁ +u₂)²−4u₁u₂. Dann ist Q_V(y₁, y₂) =y²₁ −4y₂, und ∆_ω =Q_V(a, b) = a²−4b.

Definition

F¨urk ∈N nennt man s_k(x₁, . . . , x_n) :=x^k₁ +· · ·+x^k_n eine Potenzsumme.

Die Potenzsummen sind symmetrische Polynome, also insbesondere Polynome in den elementarsymmetrischen Polynomen. Umgekehrt gilt:

4.6. Satz

Jedes symmetrische Polynom in Z[u₁, . . . , u_n] ist ein Polynom in den Potenz- summen s₁, . . . , s_n.

Auf den Beweis wird hier verzichtet (vgl. Cox/Little/O’Shea). EinBeispiel ist 1

2(s²₁−s₂) = 1

2[(x₁+· · ·+x_n)² −(x²₁+· · ·+x²_n)] =σ₂(x₁, . . . , x_n).

4.7. Satz

SeiU eine offene Umgebung des Nullpunktes imCⁿ,f :U →Ceine holomorphe Funktion und f(0) = 0. Ist f (genau genommen die Potenzreihenentwicklung von f im Nullpunkt) zn-allgemein von der Ordnung k ≥ 1, so gibt es Zahlen δ_n, δ⁰ >0, so dass gilt:

1. f(z⁰, z_n)6= 0 f¨ur |z_n|=δ_n und|z⁰|< δ⁰.

2. F¨ur jedes feste z⁰ mit |z⁰| < δ⁰ hat die Gleichung f(z⁰, z_n) = 0 in D_δn(0) genau k L¨osungen (mit Vielfachheit gez¨ahlt).

Beweis: Die Funktion g(ζ) := f(0⁰, ζ) hat in ζ = 0 eine isolierte Nullstelle der Ordnung k. Deshalb gibt es ein δ_n > 0, so dass g(ζ) 6= 0 f¨ur 0 < |ζ| ≤ δ_n ist.

Offensichtlich gibt es dann auch ein δ > 0, so daß f(z⁰, ζ) 6= 0 f¨ur |z⁰| ≤ δ und

|ζ|=δn ist. Seiε := inf{|f(z⁰, zn)| : |z⁰| ≤δ und |zn|=δn}. Dann ist ε >0.

f = 0

|z_n|

|z⁰| δ_n

δ⁰ δ

r r

r

Ist δ⁰ mit 0< δ⁰ < δ klein genug gew¨ahlt, so ist

|f(z⁰, zn)−f(0⁰, zn)|< ε≤ |g(zn)|

f¨ur |z⁰|< δ⁰ und |z_n|=δ_n.

Sei nun z⁰ festgehalten und h(ζ) :=f(z⁰, ζ). Dann ist |h(z_n)−g(z_n)| <|g(z_n)| f¨ur

|zn|=δn. Aus dem Satz von Rouch´e folgt nun, dass hund g in Dδn(0) gleich viele Nullstellen besitzen, dass also f(z⁰, z_n) = 0 f¨ur |z_n|< δ_n genau k L¨osungen hat.

4.8. Hilfssatz

g und h seien holomorphe Funktionen in einer Ver¨anderlichen. Hat h in a eine Nullstelle der Ordnung k, so ist

res_a

g(z)· h⁰(z) h(z)

=k·g(a).

Beweis: Wir schreiben h(z) = (z−a)^k·r(z), mitr(a)6= 0. Dann folgt:

g(z)· h⁰(z)

h(z) = g(z)·k·(z−a)^k−1r(z) + (z−a)^kr⁰(z) (z−a)^kr(z)

= g(z)· k

z−a +r⁰(z) r(z)

.

Der zweite Summand ist holomorph, und der erste hat eine Polstelle erster Ord- nung. Also ist

res_a

g(z)· h⁰(z) h(z)

=







limz→a(z−a)·

g(z)· h⁰(z) h(z)

=k·g(a), 0 falls g(a) = 0.

4.9. Folgerung

Sei h holomorph auf einer Umgebung U von D_δ(0) ⊂ C und 6= 0 auf ∂D_δ(0).

Hat h in D_δ(0) die Nullstellen a₁, . . . , a_q mit Vielfachheiten k₁, . . . , k_q, so ist 1

2πi Z

|ζ|=δ

ζ^mh⁰(ζ) h(ζ) dζ =

q

X

ν=1

kνa^m_ν .

Beweis: Der Integrand ist meromorph, mit Polstellen bei a₁, . . . , a_q. Daher ist 1

2πi Z

|ζ|=δ

ζ^mh⁰(ζ) h(ζ) dζ =

q

X

ν=1

res_aν

ζ^mh⁰(ζ) h(ζ)

=

q

X

ν=1

k_νa^m_ν .

4.10. Weierstraß’scher Vorbereitungssatz

Sei U eine offene Umgebung des Nullpunktes im Cⁿ, f : U → C holomorph, f(0) = 0 und f zn-allgemein von der Ordnung k ≥1. Dann gibt es einen Poy- zylinder P um 0 in U, ein Weierstraß-Polynom ω =ω(z⁰, z_n) vom Grad k und eine holomorphe Funktione, so dass gilt:

1. e hat keine Nullstellen in P. 2. f =e·ω auf P.

Dabei sind e und ω in der N¨ahe von 0 eindeutig bestimmt. Ist f ein Polynom in z_n, so gilt das auch f¨ur e.

Beweis: Da f z_n-allgemein von der Ordnung k ist, gibt es Zahlenδ_n, δ⁰ >0, so dass gilt:

1. f(z⁰, zn)6= 0 f¨ur |zn|=δn und |z⁰|< δ⁰.

2. F¨ur jedes festez⁰ mit|z⁰|< δ⁰ hat die Gleichungf(z⁰, z_n) = 0 inD_δn(0) genau k L¨osungen (mit Vielfachheit gez¨ahlt).

Seien etwa ϕ₁(z⁰), . . . , ϕ_k(z⁰) die L¨osungen der Gleichung f(z⁰, z_n) = 0 in D_δn(0).

Dann setzen wir

ω(z⁰, z_n) :=

k

Y

j=1

(z_n−ϕ_j(z⁰)).

F¨ur jedes feste z⁰ istω(z⁰, z_n) ein normiertes Polynom vom Grad k : ω(z⁰, z_n) =z_n^k+a_k−1(z⁰)z^k−1_n +· · ·+a₀(z⁰).

Die Koeffizienten sind – bis auf das Vorzeichen – elementarsymmetrische Funktio- nen der Nullstellen. Außerdem gilt:

1 2πi

Z

|ζ|=δ_n

ζ^m·f_ζ(z⁰, ζ) f(z⁰, ζ) dζ =

k

X

j=1

ϕ_j(z⁰)^m.

Da die linke Seite holomorph von z⁰ abh¨angt, gilt das auch f¨ur die rechte Sei- te. Also sind alle Potenzsummen der Nullstellen holomorphe Funktionen von z⁰. Da jedes symmetrische Polynom ein Polynom in den Potenzsummen ist, sind die Koeffizienten a_i holomorph.

Wir wissen, dass f(0⁰, zn) = z_n^k·r(zn) ist, mit einer holomorphen Funktion r und r(0) 6= 0. Das bedeutet, dass ϕ_j(0⁰) = 0 f¨ur j = 1, . . . , k ist, also ω(0⁰, z_n) = z_n^k. Damit ist ω ein Weierstraß-Polynom.

Als n¨achstes setzen wir e:=f /ω. F¨ur festesz⁰ und |zn| ≤δn besitzt e(z⁰, z_n) = f(z⁰, z_n)

Qk

j=1(z_n−ϕ_j(z⁰))

als Funktion von z_n keine Nullstelle mehr und ist offensichtlich holomorph in z_n. Nun benutzen wir die Cauchysche Integralformel:

e(z⁰, z_n) = 1 2πi

Z

|ζ|=δn

e(z⁰, ζ) ζ−z_n dζ .

Da ω(z⁰, ζ)6= 0 f¨ur |ζ|= δ_n ist, ist der Integrand auf der rechten Seite holomorph inz⁰, und aus den S¨atzen ¨uber Parameterintegrale folgt, daße holomorph inz⁰ ist.

Zum Schluss ein paar Worte zur Eindeutigkeit. F¨ur festes z⁰ ist ω(z⁰, z_n) durch die Nullstellen von f eindeutig festgelegt. Die Funktion e ergibt sich dann durch Division. Ist f ein Polynom inzn, so kann man – daω normiert ist – den Satz von der Division mit Rest in Polynomringen anwenden, und man erh¨alt, dass auch e ein Polynom ist.

Bemerkung: Der Weierstraß’sche Vorbereitungssatz ist eine Verallgemeinerung des Satzes ¨uber implizite Funktionen. Ist n¨amlich f z_n-allgemein von der Ordnung k = 1, so ist f(0⁰, z_n) = c₁z_n+c₂z_n² +· · ·, mit c₁ 6= 0. Also ist

∂f

∂z_n(0⁰,0)6= 0.

Das ist die Voraussetzung des Satzes ¨uber implizite Funktionen (im Falle einer skalaren impliziten Funktion). Der Vorbereitungssatz von Weierstraß besagt nun, daß f(z⁰, z_n) =u(z⁰, z_n)·(z_n−a(z⁰)) ist, wobeia holomorph ist und u nahe z=0 keine Nullstellen besitzt. Also ist

{(z⁰, z_n) : f(z⁰, z_n) = 0}={(z⁰, z_n) : z_n =a(z⁰)}.

Das ist aber auch die Aussage des Satzes ¨uber implizite Funktionen.

4.11. Divisionsformel von Weierstraß

Sei f holomorph nahe 0 und ω(z⁰, z_n) ein Weierstraß-Polynom vom Grad k.

Dann gibt es holomorphe Funktionenq und r auf einer Umgebung von0, so dass gilt:

1. r ist ein Polynom vom Grad < k in z_n. 2. Es ist f =q·ω+r.

Dabei sind q und r in der N¨ahe von 0 eindeutig bestimmt. Ist f ein Polynom in z_n, so ist auch q ein Polynom in z_n.

Beweis: Wir k¨onnen wieder Zahlen δ_n >0 und δ⁰ > 0 finden, so dass ω(z⁰, z_n) f¨ur |z_n|=δ_n und |z⁰|< δ⁰ keine Nullstellen besitzt. F¨ur solche Punkte setzen wir

q(z⁰, z_n) = 1 2πi

Z

|ζ|=δ_n

f(z⁰, ζ)/ω(z⁰, ζ) ζ−z_n dζ .

Offensichtlich ist q holomorph. Nun setzen wir r := f −q · ω. Die Cauchysche Integralformel liefert:

r(z⁰, z_n) = f(z⁰, z_n)−q(z⁰, z_n)·ω(z⁰, z_n)

= 1

2πi Z

|ζ|=δn

f(z⁰, ζ) ζ−zn

dζ−q(z⁰, z_n)·ω(z⁰, z_n)

= 1

2πi Z

|ζ|=δn

f(z⁰, ζ)ω(z⁰, ζ)−f(z⁰, ζ)ω(z⁰, z_n) ω(z⁰, ζ)(ζ−z_n) dζ

= 1

2πi Z

|ζ|=δ_n

f(z⁰, ζ)

ω(z⁰, ζ) ·ω(z⁰, ζ)−ω(z⁰, z_n) ζ−z_n dζ .

Die Funktion g(z⁰, w) := ω(z⁰, z_n+w)−ω(z⁰, z_n)

w ist holomorph in z⁰ und ein Po- lynom vom Grad < k in w. Dann ist auch

r(z⁰, z_n) = 1 2πi

Z

|ζ|=δn

f(z⁰, ζ)

ω(z⁰, ζ)g(z⁰, ζ−z_n)dζ ein Polynom vom Grad < k inz_n.

Zur Eindeutigkeit: Es seien zwei Darstellungen gegeben, f =q₁·ω+r₁ =q₂·ω+r₂.

Dann ist r₁ −r₂ = (q₂ − q₁)·ω. Auf der linken Seite steht ein Polynom in z_n vom Grad < k, die rechte Seite hat aber (bei festem z⁰) k Nullstellen. Das ist nur m¨oglich, wennr₁−r₂ = 0 ist. Aber dann folgt, dass auch q₁ =q₂ ist.

Istf ein Polynom, so greift wieder der Satz von der Division mit Rest in Hn−1[z_n].

Sei jetzt R ein kommutativer Ring mit 1. Bekanntlich wird ein R-Modul M noethersch genannt, wenn jeder Untermodul N ⊂M endlich erzeugt ist. Der Ring R selbst ist noethersch, wenn er ein noetherscher R-Modul ist, wenn also jedes Ideal inR(als Untermodul) endlich erzeugt ist. Jede aufsteigende Kette von Idealen

I0 ⊂I1 ⊂I2 ⊂ · · · ⊂R

wird dann station¨ar, d.h., es gibt ein k₀, so daß I_k =I_k0 f¨ur k≥k₀ ist.

4.12. Lemma

Ist R ein noetherscher Ring, so ist R^q ein noetherscher R-Modul.

Beweis: Wir f¨uhren Induktion nach q.

Der Fall q = 1 ist trivial. Nun seiq≥2 und das Lemma f¨ur q−1 schon bewiesen.

Sei M ⊂R^q ein R-Untermodul. Dann ist

I :={r∈R : ∃r⁰ ∈R^q−1 mit (r,r⁰)∈M}

ein Ideal in R und als solches endlich erzeugt durch Elemente r₁, . . . , r_l. Zu jedem r_λ gibt es ein Element r⁰_λ ∈R^q−1, so dassr_λ := (r_λ,r⁰_λ) in M liegt.

Die Menge M⁰ := M ∩({0} ×R^q−1) kann mit einem R-Untermodul von R^q−1 identifiziert werden, ist nach Induktions-Annahme also endlich erzeugt. Seienr_λ = (0,r⁰_λ),λ =l+ 1, . . . , p, Erzeugende von M⁰.

Ein beliebiges Elementx∈M kann in der Formx= (x₁,x⁰) mitx₁ ∈Igeschrieben werden. Dann ist x₁ =Pl

λ=1a_λr_λ, a_λ ∈R, und x−

l

X

λ=1

a_λr_λ = 0,x⁰ −

l

X

λ=1

a_λr⁰_λ

∈M⁰.

Das bedeutet, dass es Elemente a_l+1, . . . , a_p ∈R gibt, so dass gilt:

x−

l

X

λ=1

a_λr_λ =

p

X

λ=l+1

a_λr_λ.

Also bildet {r₁, . . . ,r_p} ein Erzeugendensystem f¨urM.