Für x gegen 1, von beiden Seiten, ergibt sich kein endlicher Wert für f(x), da der Nenner dort eine Nullstelle hat, der Zähler aber nicht.

Mathematik 1 A - Kurvendiskussion -Beispiele / Wiebe 28.10.06 (_E-A5)

Gegeben ist die Funktion y = f(x) =

1.) Definitionsbereich: D = ( -∞ , 1) ∪ (1, +∞ ) d.h. alle x außer x = 1

Für x gegen 1, von beiden Seiten, ergibt sich kein endlicher Wert für f(x), da der Nenner dort eine Nullstelle hat, der Zähler aber nicht.

2.) Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs:

Bei x = 1 gilt: f(1+ε) = -∞ f(1-ε) = +∞

Für x → ±∞ gilt: f(x)= -∞ und f(x) = +∞ . ( Asymptote: für |x| >> 1 wird f(x) ≈ -x -1 )

3.) Kritische Punkte: siehe zu 2.).

4.) Nullstellen:

Es gibt eine doppelte Nullstelle bei x = x

= 0. Bei x

ist der Zähler null, der Nenner nicht.

5.) Extrema ( Minima und Maxima )

f '(x) = f '(x) hat eine Nullstelle bei x

= 0 und eine bei x

= 2.

f ''(x) = f ''(0) = 2 > 0 ⇒ Minimum f ''(2) = - 2 < 0 ⇒ Maximum 6.) Wendepunkte:

f ''(x) hat keine Nullstelle, es gibt keinen Wendepunkt.

7.) Skizze

Funktionswert im Maximum:

f(0) = 0, die Nullstelle Funktionswert im Minimum:

f(2) = -4

Steigung für x → ±∞ : f '(x) → -1

x

x 1

−

−

0

ε→

lim

ε→

lim

2 2

x 2x

(x 1)

− +

−

3

2 (x 1)

−

−

x

→+∞

lim

→−∞

lim