Klausur TheGI 3
21. Februar2004
Name,Vorname: Matr.-Nr.:
UbungimWS
Aufgabe: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Punkte:
Summe: Klausurnote:
Punkte: Insgesamt sind in der Klausur 55 Punkte zu erreihen, wovon5 Punkte als Bonus-
punkte behandelt werden, so da man mit Erreihen von 50 Punkten bereits 100% der
Klausur bestanden hat. Die Klausurgilt alsbestanden, wenn mindestens 25 Punkte er-
reihtwerden.
Bearbeitungszeit: DieBearbeitungszeitbetragt120Minuten.
Form der Abgabe: Bitte beginnt jedeAufgabe auf einerneuen Seite und shreibt auf jedes
vonEuhbenutzteBlattEurenNamenundEureMatrikelnummer.
Hilfsmittel: AlsHilfsmittelistausshlieliheinbeidseitighandbeshriebenesDIN-A4-Blattin
eigenerHandshrift(keineKopien)zugelassen,keineMobiltelefone,PDAs,Buher,Hefter,
Kopien,et.
Hinweis: Vershat Euh zunahst einen
Uberblik
uber alle Aufgaben und beginnt mit der
Aufgabe,dieEuhamwenigsten aufwendigersheint.
Aufgabe1 (3Punkte)
Es seien P = fp;qg eine Menge von Aussagensymbolen und '; 2 Form(P). Gib ohne Be-
grundungan,welhederfolgendenAussagenwahrbzw.falshsind.FurjederihtigeAntwort
gibteseinenhalbenPunkt,fur jedefalsheAntwort wirdeinhalberPunktabgezogenundniht
bearbeiteteTeilaufgabenwerdenmitnullPunkten bewertet.InsgesamtgibtesfurdieseAufgabe
abermindestensnullPunkte.
1. Wenn (H;`
H
)einkorrekterHilbertkalkulistund' gilt,sogiltauh: `
H :'.
2. Wenn dieFolgerungf'; ggilt,danngeltenauhdieFolgerungen' und .
3. Die folgendenAussagen sindbeiderihtig:
p^:p q!(q!p)
p_:p p!(q!p)
4. Wenn ' gilt,sogiltB
('! )=T furalleBelegungenB:P !fT;Fg.
5. Die Menge f^;_g bildet eine Junktorbasis fur die Menge der aussagenlogishen Formeln
Form(P).
6.
fp;:qg f:p;qg
;
isteinekorrekteAnwendungderResolventenregelaufdieKlauselnfp;:qg
SeienP eineMengevonAussagensymbolensowiep;q2P.
(a) ErganzebittediefolgendeWahrheitstafel!InderFormeldieserWahrheitstafel(imfolgenden
als'bezeihnet)fehltnoheinzweistelligerJunktorausf^;_;!;$gundvierVorkommnis-
sevonAussagensymbolenausSymb(')=fp;qg,d.h.injedeLukegehortnureinZeihen!
Erganzebittealleder26fehlendenWahrheitswerte.
p q ( ::: ! ::: ) $ ( : ::: ::: ::: )
T T F
T F F F
F T T T
F F F
(b) Sei'dieFormelausderWahrheitstafelin Teilaufgabe(a).Gibsowohleinekonjunktiveals
auheinedisjunktiveNormalformfur'an.
() Entsheide,obdiefolgendenFormelninDNF,inKNFoderinDNFundKNFzugleihsind.
Bei diesemAufgabenteilwerdenfur falsheAntwortenkeine Punkte abgezogen.
1
=(p_:r_:p_r)
2
=?^(p^q)
Aufgabe3 (3+2Punkte)
SeienP eineMengevonAussagensymbolenundp;q2P.
(a) Untersuhebitte,obdienahstehendeFolgerungsbehauptungstimmtodernihtstimmtund
gibeinestihhaltigeArgumentationfurDeinErgebnisan.
p!(:q!p)p!:p:
(b) Angenommen, fureinen Hilbertkalkul(H;`
H )gilt
p!(:q!p)`
H
p!:p:
Kann(H;`
H
)korrektsein?Kann(H;`
H
)vollstandigsein?BegrundebitteDeineAntworten
shlussig.
Aufgabe4 (5+2Punkte)
SeienP eineMengevonAussagensymbolenund'; ;;2Form(P).
(a) Beweiseoderwiderlege(durhAngabeeinesGegenbeispiels)diefolgendeBehauptung:Wenn
sowohl '^als auh ^gilt,sogilt auh('_ )^.
(b) Istdie folgendeSequenzenregelkorrekt?
f'^g. f ^g.
f('_ )^g.
Aufgabe5 (5Punkte)
BeweisebittemitHilfedesResolutionsverfahrensdienahstehendeFolgerungsbehauptung:
Gegeben sei die Signatur = (S;OP;R EL) mit S = fs
1
;s
2
g, OP = fgg mit g : s
1
! s
2 und
R EL =fR gmit R:hs
1 s
2
i. Weiterhinseien diebeidenVariablenmengen X
s1
=fx;x
1
;x
2 gund
X
s2
=fyggegebenundesseiX=(X
s1
;X
s2
).GibohneBegrundungan,welhederfolgenden
Aussagenwahrbzw.falshsind.FurjederihtigeAntwort gibteseinenhalbenPunkt,furjede
falsheAntwortwirdeinhalberPunktabgezogenundnihtbearbeiteteTeilaufgabenwerdenmit
nullPunktenbewertet.InsgesamtgibtesfurdieseAufgabeabermindestensnullPunkte.
1. 9x:g(x
1 )^g(x
2
)isteineFormelausForm
(X).
2. 8x:9y:g(g(g(x)))=y isteineFormelausForm
(X).
3. EsgibtFormeln'2Form
(X),indenendieVariablexfreiundgebunden,dieVariablex
1
abernurgebundenvorkommt.
4. FurjedeAbbildung f :fp;qg!Form
(X)gilt::(f(p)!f(q))`
PHK
(f(p)!f(q)).
Aufgabe7 (4+4Punkte)
GegebenseidiefolgendelogisheSignatur:
1
=
sorts: int;rat
opns: one: !int
add: intint!int
fra: intint!rat
rels: Teilbar: <intint>
Isint: <rat>
WeiterhinseidieFamilievonVariablenmengenX=(X
int
;X
rat )mitX
int
=fx;y;zgundX
rat
=
frggegeben.
(a) Gib eineStrukturA zu
1
an,inderjedederfolgendenFormelngultigist:
'
1
=9x:9y:Teilbar(x;y)^9x:9y::Teilbar(x;y)
'
2
=8x:(add(one;x)=x^add(x;one)=x)
'
3
=8x:8y:(Teilbar(x;y)!Isint(fra(y;x))
'
4
=8r:(:Isint(r)!9x:9y:fra(x;y)=r)
'
5
=(9y:8x:Teilbar(x;y))!(8x:9y:Teilbar(x;y))
(b) Beweise,da dieFormel'
5
allgemeingultigist.
Aufgabe8 (3.5+5 oder5+3.5Punkte)
GegebenseieneinelogisheSignatur
2
,ein passendesVariablensystemX mit x2X sowiedrei
beliebigeFormeln'; ;2Form
2
(X).VondenbeidenfolgendenBehauptungen isteinerihtig
und eine unrihtig. Beweise die rihtige Behauptung ohne Verwendung bereits bekannter
Aqui-
valenzen undFolgerungen.Widerlege die unrihtigeBehauptungdurh Angabeeinesgeeigneten
GegenbeispielsinklusiveeinerstihhaltigenBegrundung.
(a) (9x:')_(:(8x: $?)) (:8x::')_(9x: )
(b) 9x:(('_ )!:) (9x:('_ ))!(9x:)
Aufgabe9 (3+3+3Punkte)
Gegeben sei die Signatur
3
= (S;OP;R EL) mit S = fsg, OP = ffg mit f : s ! s und
R EL=fPgmit P:hssi.Weiterhinseidie VariablenmengeX
s
=fx;y;z;x
1
;x
2
;:::ggegeben.
(a) FormuliereeineFormel',sodagilt:Mod
(')=fAjAist-StrukturundjA
s j=3g.
(b) FormuliereeineFormel ,soda gilt:
Mod
( )=fAjA ist-StrukturundP
A
=f(a;f
A
(a))ja2A
s gg.
() Gib ohneBeweiseineStrukturA2Mod ('^ )an.
