−aa0xV(x) V V TheoretischePhysikII—Klausur1

10. Mai 2008

Prof. Dr. T. Guhr, PD Dr. H. Kohler, Dr. R. Sch¨afer

Theoretische Physik II — Klausur 1

K1. Ja–Nein Fragen (4P)

Jede richtige Antwort liefert einen Punkt, jede falsche Antwort liefert einen Minuspunkt.

Eine nicht beantwortete Frage liefert null Punkte. Insgesamt k¨onnen in der Aufgabe nicht weniger als null Punkte erzielt werden.

richtig falsch Die Wellenfunktion im Impulsraum ist die Fouriertrans-

formierte der Wellenfunktion im Ortsraum.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte im Impulsraum ist die Fouri- ertransformierte der Wahrscheinlichkeitsdichte im Ort- sraum.

Die Zeitentwicklung des Ortserwartungswerts folgt immer der klassischen Bewegungsgleichung.

Die Schr¨odingergleichung, wie wir sie in der Vorlesung ken- nenlernten, beschreibt keine relativistischen Effekte.

K2. Teilchen im asymmetrischen Kastenpotential (7P)

Ein Teilchen bewege sich in einer Dimension in dem Potential (siehe Skizze)

V (x) =







V ₁ > 0 , x ≤ − a , V ₀ = 0 , − a < x ≤ a , V ₂ > V ₁ , x > a ,

mit a > 0

V₁

V₂

−a 0 a x

V(x)

i) Skizzieren Sie den Realteil der Eigenfunktion zur Energie E f¨ ur a) 0 < E < V ₁ (0.5P) ,

b) V ₁ < E < V ₂ (0.5P) , c) E > V ₂ (0.5P) .

Diskutieren Sie die Normierbarkeit der Eigenfunktionen in den drei Energiebereichen (1P).

ii) Wie ist die Struktur des Spektrums in den drei Energiebereichen (1.5P) ? diskret kontinuierlich beides

E < V ₁ V ₁ < E < V ₂

E > V ₂

Es gibt f¨ ur jede richtige Antwort einen halben Punkt. F¨ ur jede fasche Antwort wird ein halber Punkt abgezogen. Ansonsten gelten die Regeln von Aufgabe K1.

iii) Es bezeichne φ _I (x) die Wellenfunktion im Bereich x ≤ − a, φ _II (x) die Wellenfunktion im Bereich − a < x ≤ a und φ _III (x) die Wellenfunktion im Bereich x > a. Geben Sie einen geeigneten m¨oglichst allgemeinen Ansatz f¨ ur die Wellenfunktionen φ _I (x), φ _II (x), φ _III (x) in dem Energiebereich V ₁ < E < V ₂ (1P). Formulieren Sie die Anschlussbedin- gungen f¨ ur diese Wellenfunktionen an den Stellen x = − a und x = a (2P). Es ist nicht n¨otig, die resultierenden Gleichungen f¨ ur die freien Parameter weiter aufzul¨ osen.

iv) Erl¨autern Sie, ob und wenn ja, welche Parit¨at die Eigenfunktionen in den drei En- ergiebereichen haben (1P).

K3. Kommutatoren (6P) Berechnen Sie die Kommutatoren

[ ~ L, ˆ ~ p ˆ ² ] (2P) , [ L, ~ ~ ˆ r ² ] (2P) , [~ r ² , p ~ ˆ ² ] (2P) ,

wobei ~ r der Ort, ˆ ~ p der Impulsoperator und L ~ ˆ der Drehimpulsoperator ist.

K4. Erwartungswerte einer rotationsinvarianten Funktion (6P) Die Wellenfunktion eines Teilchens in drei Dimensionen sei durch

φ(~ r) = A exp −

√ ~ r ² 2ρ

!

gegeben, wobei ρ reell sei und ρ > 0 gelte. Bestimmen sie die Normierung A (1P).

Berechnen Sie die Erwartungswerte

(∆~ r) ² = h ~ r ² i − h ~ r i ² (2P) , (∆~ p) ² = h ~ p ˆ ² i − h ~ p ˆ i ² (2P) , h L ~ ˆ i (1P) bez¨ uglich φ(~ r) .

K5. Ehrenfest–Theorem (3P)

Beweisen Sie das Ehrenfest–Theorem f¨ ur den Drehimpulsoperator d

dt h ~ L ˆ i = −

~ r × ∂V (~ r)

∂~ r

(3P) .

K6. Endliche Fourier-Summe (2P)

Betrachten Sie folgende endliche Summe von Wellen:

ψ(t) =

N

X

j=0

e ^{i (ω}

⁺

^∆ω)t .

i) Skizzieren Sie | ψ(t) | ² f¨ ur N = 4, ω ₀ > 0 und ∆ω > 0. (1P)

ii) Wie ¨ andert sich das Bild, wenn man die Intervallbreite ∆ω verkleinert? (0.5P) iii) Wie ¨ andert sich das Bild, wenn man ω ₀ vergr¨oßert? (0.5P)

K7. Diskrete Fourier-Transformation (2P)

Um eine beliebige Funktion f (p) numerisch vom Impulsraum in den Ortsraum zu trans- formieren, kann man in Mathematica die diskrete Fourier-Transformation verwenden.

i) Wie erreicht man eine hohe Aufl¨ osung im Ortsraum? (1P)

ii) Wie sollte man die Anzahl der St¨ utzstellen im Impulsraum w¨ahlen, damit die Berech-

nung m¨oglichst effizient erfolgt? (1P)