• Keine Ergebnisse gefunden

(8 Punkte) Geben Sie an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Aktie "(8 Punkte) Geben Sie an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind"

Copied!
2
0
0

Wird geladen.... (Jetzt Volltext ansehen)

Volltext

(1)

Humboldt-Universit¨at zu Berlin, Institut f¨ur Mathematik Differentialgleichungen

Dr. Caroline L¨obhard

Sommersemester 2016, Musterklausur, Seite 1 von 2 Bearbeitungszeit: 60 Minuten, Gesamtpunktzahl: 28 Zu erreichende Punkte: 32

Aufgabe 1. (8 Punkte) Geben Sie an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. F¨ur jede richtige Antwort bekommen Sie zwei Punkte, f¨ur jede falsche Antwort wird Ihnen ein Punkt abgezo- gen. Eine nichtbeantwortete Frage wird mit Null Punkten bewertet. Insgesamt wird die Aufgabe mit mindestens 0, und maximal 8 Punkten bewertet.

wahr falsch

Die konstante Nullfunktion y(t) = 0 l¨ost jedes homogene lineare Anfangswertproblem.

Ist D : C(R) → C(R) der Differentialoperator D(y)(x) = y0(x) und Id : C(R) → C(R) der identische Operator Id(y)(x) = y(x), so ist (D+ Id)2(sin(x)) = 2 cos(x).

Die Funktionen y1(x) =e2x und y2(x) =ex sind linear unabh¨angig.

Die Funktiony(t) = cos(t)t l¨ost die Differentialgleichung

y00(t) + 2

ty0(t) +y(t) = 0.

Aufgabe 2. (4+1+2+1 Punkte) Wir betrachten die inhomogene lineare Differentialgleichung y00(t) +y0(t)−2y(t) = 10et.

a) Bestimmen Sie mit der Ansatzmethode eine partikul¨are L¨osung der Differentialgleichung.

b) Geben Sie die allgemeine L¨osung der Differentialgleichung und die L¨osung des zugeh¨origen An- fangswertproblems mity(1) = 113 e,y0(1) = 7ean.

c) Schreiben Sie die obige Differentialgleichung zweiter Ordnung als System von zwei Differential- gleichungen erster Ordnung inz(t) =

z1(t) z2(t)

. Geben Sie die KoeffizientenmatrixA∈R2×2 und die Funktion h(t) an, so dass die obige Differentialgleichung ¨aquivalent zu z0(t) =Az(t) +h(t) ist.

d) Erkl¨aren Sie den Zusammenhang zwischen dem L¨osungsansatz f¨ur die allgemeine L¨osung des homogenen Systemsz0(t) =Az(t) und dem der homogenen Gleichungy00(t) +y0(t)−2y(t) = 0.

Informationen zur Vorlesung finden Sie unter www.math.hu-berlin.de/˜loebhard/mathematik 2

(2)

Humboldt-Universit¨at zu Berlin, Institut f¨ur Mathematik Differentialgleichungen

Dr. Caroline L¨obhard

Sommersemester 2016, Musterklausur, Seite 2 von 2 Bearbeitungszeit: 60 Minuten, Gesamtpunktzahl: 28 Zu erreichende Punkte: 32

Aufgabe 3. (2+6 Punkte)

a) Es seiJ =Rund g:J →Rsei eine stetige Funktion. Die Funktioneny1 und y2 seien L¨osungen der Differentialgleichung

y0(t) +g(t)y(t) = 0 (?)

und c ∈ R sei eine Konstante. Zeigen Sie, dass auch die Funktion y(t) = y1(t) +c·y2(t) eine L¨osung von (?) ist.

b) Bestimmen Sie die L¨osung des folgenden Anfangswertproblems:

y0(t)− y(t)

t2−t = (1−t)et, y

1

2

=−2.

Geben Sie auch das maximale L¨osungintervallJ f¨urt an.

Aufgabe 4. (3+4+1 Punkte)

a) Welcher Zusammenhang besteht zwischen den L¨osungen der Differentialgleichung

y0(x) =−M(x, y) N(x, y)

und Stammfunktionen der Differentialform ω = M dx+N dy? Wie kann man die Differential- gleichung l¨osen, wenn die Differentialformω nicht exakt ist?

b) Berechnen Sie die allgemeine L¨osung der folgenden Differentialgleichung f¨ury ∈]0, π[, x >0, dx−xcot(y)dy= 0.

c) Berechnen Sie aus der L¨osung aus b) die L¨osung des zugeh¨origen Anfangswertproblems mit y(1) = π2.

Informationen zur Vorlesung finden Sie unter www.math.hu-berlin.de/˜loebhard/mathematik 2

Referenzen

ÄHNLICHE DOKUMENTE

F¨ ur jede richtige Antwort gibt es einen Punkt, f¨ ur jede falsche Antwort wird ein Punkt abgezogen und nicht bearbeitete Teilaufgaben werden mit null

F¨ ur jede richtige Antwort gibt es einen Punkt, f¨ ur jede falsche Antwort wird ein Punkt abgezogen und nicht bearbeitete Teilaufgaben werden mit null Punkten bewertet?. Insgesamt

F¨ ur jede richtige Antwort gibt es einen halben Punkt, f¨ ur jede falsche Antwort wird ein halber Punkt abgezogen und nicht bearbeitete Teilaufgaben werden mit null Punkten

Entscheidet, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind und kreuzt entsprechend an.. F¨ ur jede richtige Antwort gibt es einen Punkt, f¨ ur jede falsche Antwort wird ein

Entscheidet, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind und kreuzt entsprechend an.. F¨ ur jede richtige Antwort gibt es einen Punkt, f¨ ur jede falsche Antwort wird ein

Entscheidet, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind und kreuzt entsprechend an! F¨ ur jede richtige Antwort gibt es 1,5 Punkte, f¨ ur jede falsche Antwort wird ein

Entscheidet, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind und kreuzt entsprechend an! F¨ ur jede richtige Antwort gibt es 1,5 Punkte, f¨ ur jede falsche Antwort wird ein

F¨ ur jede richtige Antwort gibt es zwei Punkte, f¨ ur jede falsche Antwort wird ein Punkt abgezogen, wobei es jedoch minimal 0 Punkte f¨ ur die ganze Aufgabe gibt. Aussage