Humboldt-Universit¨at zu Berlin, Institut f¨ur Mathematik Differentialgleichungen
Dr. Caroline L¨obhard
Sommersemester 2016, Musterklausur, Seite 1 von 2 Bearbeitungszeit: 60 Minuten, Gesamtpunktzahl: 28 Zu erreichende Punkte: 32
Aufgabe 1. (8 Punkte) Geben Sie an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. F¨ur jede richtige Antwort bekommen Sie zwei Punkte, f¨ur jede falsche Antwort wird Ihnen ein Punkt abgezo- gen. Eine nichtbeantwortete Frage wird mit Null Punkten bewertet. Insgesamt wird die Aufgabe mit mindestens 0, und maximal 8 Punkten bewertet.
wahr falsch
Die konstante Nullfunktion y(t) = 0 l¨ost jedes homogene lineare Anfangswertproblem.
Ist D : C∞(R) → C∞(R) der Differentialoperator D(y)(x) = y0(x) und Id : C∞(R) → C∞(R) der identische Operator Id(y)(x) = y(x), so ist (D+ Id)2(sin(x)) = 2 cos(x).
Die Funktionen y1(x) =e2x und y2(x) =ex sind linear unabh¨angig.
Die Funktiony(t) = cos(t)t l¨ost die Differentialgleichung
y00(t) + 2
ty0(t) +y(t) = 0.
Aufgabe 2. (4+1+2+1 Punkte) Wir betrachten die inhomogene lineare Differentialgleichung y00(t) +y0(t)−2y(t) = 10et.
a) Bestimmen Sie mit der Ansatzmethode eine partikul¨are L¨osung der Differentialgleichung.
b) Geben Sie die allgemeine L¨osung der Differentialgleichung und die L¨osung des zugeh¨origen An- fangswertproblems mity(1) = 113 e,y0(1) = 7ean.
c) Schreiben Sie die obige Differentialgleichung zweiter Ordnung als System von zwei Differential- gleichungen erster Ordnung inz(t) =
z1(t) z2(t)
. Geben Sie die KoeffizientenmatrixA∈R2×2 und die Funktion h(t) an, so dass die obige Differentialgleichung ¨aquivalent zu z0(t) =Az(t) +h(t) ist.
d) Erkl¨aren Sie den Zusammenhang zwischen dem L¨osungsansatz f¨ur die allgemeine L¨osung des homogenen Systemsz0(t) =Az(t) und dem der homogenen Gleichungy00(t) +y0(t)−2y(t) = 0.
Informationen zur Vorlesung finden Sie unter www.math.hu-berlin.de/˜loebhard/mathematik 2
Humboldt-Universit¨at zu Berlin, Institut f¨ur Mathematik Differentialgleichungen
Dr. Caroline L¨obhard
Sommersemester 2016, Musterklausur, Seite 2 von 2 Bearbeitungszeit: 60 Minuten, Gesamtpunktzahl: 28 Zu erreichende Punkte: 32
Aufgabe 3. (2+6 Punkte)
a) Es seiJ =Rund g:J →Rsei eine stetige Funktion. Die Funktioneny1 und y2 seien L¨osungen der Differentialgleichung
y0(t) +g(t)y(t) = 0 (?)
und c ∈ R sei eine Konstante. Zeigen Sie, dass auch die Funktion y(t) = y1(t) +c·y2(t) eine L¨osung von (?) ist.
b) Bestimmen Sie die L¨osung des folgenden Anfangswertproblems:
y0(t)− y(t)
t2−t = (1−t)et, y
1
2
=−2.
Geben Sie auch das maximale L¨osungintervallJ f¨urt an.
Aufgabe 4. (3+4+1 Punkte)
a) Welcher Zusammenhang besteht zwischen den L¨osungen der Differentialgleichung
y0(x) =−M(x, y) N(x, y)
und Stammfunktionen der Differentialform ω = M dx+N dy? Wie kann man die Differential- gleichung l¨osen, wenn die Differentialformω nicht exakt ist?
b) Berechnen Sie die allgemeine L¨osung der folgenden Differentialgleichung f¨ury ∈]0, π[, x >0, dx−xcot(y)dy= 0.
c) Berechnen Sie aus der L¨osung aus b) die L¨osung des zugeh¨origen Anfangswertproblems mit y(1) = π2.
Informationen zur Vorlesung finden Sie unter www.math.hu-berlin.de/˜loebhard/mathematik 2