Mathematik f¨ ur Naturwissenschaftler I WS 2020/21

Mathematik f¨ ur Naturwissenschaftler I WS 2020/21

Prof. Andreas Dreuw

Ubungsblatt 7 ¨ Ausgabe: Do 17.12.2020

Abgabe: Fr 08.01.2021 10:00

1 2 3 Σ

/ 15 P

Basiswissen

Ableitungen, Grenzwerte, Ober- /Untersumme, stetig und stetig diffe- renzierbar

Neue Themen

Regel von l’Hospital, Taylor-Approximation

Aufgabe 7.1 (6 P). ( ¨ Ubungen zur Ableitung) Ein paar ¨ Ubungen zu den Ableitungsregeln.

(a) Leiten Sie folgende Funktionen einmal ab (3 P)

f 1 (x) = sin(e ^((2x+1)

⁾ ) f 2 (x) = ln(sin(x ² )) f 3 = p

x ^sin(x) (1) (b) Bestimmen Sie die Grenzwerte mithilfe der Regel von l’Hospital (3 P)

lim

x→

ln(2x)

1 − 2x lim

x→0

√ x ln( √

x) lim

x→

tan(x)

tan(3x) (2)

Aufgabe 7.2 (5 P). (Approximation mit der Taylorreihe)

Viele Formeln in der Chemie sind so unhandlich, dass es von Vorteil ist, sie mit einfacheren Funktionen anzun¨ ahern. Eine Technik hierf¨ ur ist die Taylorreihe. Sie liefert je nach gew¨ ahl- tem Grad ein Polynom, welches die Funktion an einem Punkt in ihrem Funktionswert und ihren Ableitungen ann¨ ahert. Je h¨ oher der Grad der Taylorreihe, desto mehr Ableitungen der Funktion werden ber¨ ucksichtigt und desto genauer die Approximation (im Allgemeinen).

(a) Berechnen Sie die Taylorreihen folgender Funktionen im Entwicklungspunkt x 0 = 0

bis zur vierten Ordnung: (3 P)

f (x) = sin(x) g(x) = 2e ^2x h(x) = x ³ + 3x ² + 2x + 1 (3) Was f¨ allt ihnen f¨ ur die Taylorreihenentwicklung von h(x) auf?

(b) Berechnen Sie die Taylorreihen folgender Funktionen im Entwicklungspunkt x ₀ = 0 in der allgemeinen Summenschreibweise. Was f¨ allt Ihnen auf? (2 P) f (x) = e ^ix g(x) = cos(x) + i sin(x) (4) Aufgabe 7.3 (4 P). (Vereinfachter Tunneleffekt)

In der theoretischen Chemie k¨ onnen Elektronen mit Wellenfunktionen beschrieben werden (und ihre Aufenthaltswahrscheinlichkeit mit deren Quadraten). Diese m¨ ussen im Allgemei- nen kontinuierlich sein, daher m¨ ussen sowohl die Funktion als auch ihre erste Ableitung stetig sein. Ein besonderer Effekt in der Physik ist das Aufeinandertreffen von Partikeln wie

1

P artik el

x

Vereinfachter Tunneleffekt

Elektronen und endlichen Potentialbarrieren, bei dem das Partikel eine geringe Wahrschein- lichkeit hat hinter der Barriere auffindbar zu sein. Die folgende Aufgabe dient dazu, verein- facht diesen Tunneleffekt zu beschreiben. Dazu wird versucht eine kontinuierliche Funktion

¨

uber alle Bereiche zu erstellen. Gegeben sind die beiden Funktionen f (A, φ, x) und g(x).

(a) Sei f (A, φ, x) mit A = 1 und φ = ^π ₄ unsere Funktion vor der Potentialbarriere und g(x) ihr exponentieller Abfall innerhalb (siehe Abbildung 7.3). Passen Sie die Parameter von g(x) nun so an, dass die zusammengesetzte Funktion h(x) und ihre erste Ableitung

im Punkt x ₀ = 0 stetig ist. (2 P)

f(A, φ, x) = A cos ² (x + φ) g(x) = be ^−cx h(x) =

( f (1, ^π ₄ , x) x ≤ 0 g(x) x > 0 (5) (b) Nach dem Abfall in der Barriere beginnt die Funktion wieder zu oszillieren. Bestimmen Sie die neue Amplitude von f (A, φ, x) im Punkt x 1 = ln(2). Achten Sie hierbei darauf, dass die Phasenverschiebung aus a) jetzt um die Breite der Barriere verringert ist.

Desweiteren muss die zusammengesetzte Funktion P (x) in diesem Punkt stetig und stetig differenzierbar (daher muss die erste Ableitung stetig sein) bleiben. (2 P)

P (x) =



 

 

f (1, ^π ₄ , x) 0 ≤ x

g(x) 0 < x ≤ ln(2) f (A, φ ⁰ , x) ln(2) < x

(6)

2