Ubungsblatt 7 ¨ Ausgabe: Do 17.12.2020

Mathematik f¨ ur Naturwissenschaftler I WS 2020/21

Prof. Andreas Dreuw

Ubungsblatt 7 ¨ Ausgabe: Do 17.12.2020

Abgabe: Fr 08.01.2021 10:00

1 2 3 Σ

/ 15 P

Basiswissen

Ableitungen, Grenzwerte, Ober- /Untersumme, stetig und stetig diffe- renzierbar

Neue Themen

Regel von l’Hospital, Taylor-Approximation

Aufgabe 7.1 (6 P). ( ¨ Ubungen zur Ableitung) Ein paar ¨ Ubungen zu den Ableitungsregeln.

(a) Leiten Sie folgende Funktionen einmal ab (3 P)

f ₁ (x) = sin(e ^((2x+1)

²

⁾ ) f ₂ (x) = ln(sin(x ² )) f ₃ = p

^x

x ^sin(x) (1) (b) Bestimmen Sie die Grenzwerte mithilfe der Regel von l’Hospital (3 P)

lim

x→

¹₂

ln(2x)

1 − 2x lim

x→0

√ x ln( √

x) lim

x→

^π₂

tan(x)

tan(3x) (2)

L¨ osung 7.1.

(a)

f ₁ ⁰ (x) = sin

e ^((2x+1)

²

⁾ 0

= cos

e ^((2x+1)

²

⁾ e ^((2x+1))

²

0

(3)

= cos

e ^((2x+1)

²

⁾ e ^((2x+1))

²

((2x + 1) ² ) ⁰ (4)

= cos

e ^((2x+1)

²

⁾ e ^((2x+1))

²

(8x + 4) (5)

f ₂ ⁰ (x) = (ln(sin(x ² ))) ⁰ = (sin(x ² )) ⁰ 1

sin(x ² ) = 2x cos(x ² ) 1

sin(x ² ) (6)

= 2x cot(x ² ) (7)

f ₃ ⁰ (x) = p

_x

x ^sin(x) 0

=

x

^sin(x)x

0

=

e

^sin(x)x

^ln(x) 0

=

ln(x) sin(x) x

0

e

^sin(x)x

^ln(x) (8)

=

ln(x) x cos(x) − sin(x)

x ² + sin(x) x ²

x

^sin(x)x

(9)

(b)

lim

x→

¹₂

ln(2x) 1 − 2x

l’Hospital

= lim

x→

¹₂

2 2x

−2 = lim

x→

¹₂

1

−2x = −1 (10)

x→0 lim

√ x ln( √

x) = lim

x→0

ln( √ x) x ⁻

¹²

l’Hospital

= lim

x→0 x

⁻¹2

2 √ x

− ¹ ₂ x ⁻

³²

= lim

x→0 − √

x = 0 (11)

x→ lim

^π₂

tan(x) tan(3x)

l’Hospital

= lim

x→

^π₂

1 cos

²

(x)

3 cos

²

(3x)

(12)

= lim

x→

^π₂

1 3

cos ² (3x)

cos ² (x) (13)

l’Hospital

= lim

x→

^π₂

1 3

−2 cos(3x)3 sin(3x)

−2 cos(x) sin(x) (14)

= lim

x→

^π₂

cos(3x) sin(3x)

cos(x) sin(x) (15)

= lim

x→

^π₂

sin(3x) 4 cos ³ (x) − 3 cos(x)

cos(x) sin(x) (16)

= lim

x→

^π₂

sin(3x) 4 cos ² (x) − 3

sin(x) (17)

= sin(− ³ ₂ π)

sin( ^π ₂ ) (−3) = 3 (18)

Aufgabe 7.2 (5 P). (Approximation mit der Taylorreihe)

Viele Formeln in der Chemie sind so unhandlich, dass es von Vorteil ist, sie mit einfacheren Funktionen anzun¨ ahern. Eine Technik hierf¨ ur ist die Taylorreihe. Sie liefert je nach gew¨ ahl- tem Grad ein Polynom, welches die Funktion an einem Punkt in ihrem Funktionswert und ihren Ableitungen ann¨ ahert. Je h¨ oher der Grad der Taylorreihe, desto mehr Ableitungen der Funktion werden ber¨ ucksichtigt und desto genauer die Approximation (im Allgemeinen).

(a) Berechnen Sie die Taylorreihen folgender Funktionen im Entwicklungspunkt x ₀ = 0

bis zur vierten Ordnung: (3 P)

f (x) = sin(x) g(x) = 2e ^2x h(x) = x ³ + 3x ² + 2x + 1 (19) Was f¨ allt ihnen f¨ ur die Taylorreihenentwicklung von h(x) auf?

(b) Berechnen Sie die Taylorreihen folgender Funktionen im Entwicklungspunkt x ₀ = 0 in der allgemeinen Summenschreibweise. Was f¨ allt Ihnen auf? (2 P) f (x) = e ^ix g(x) = cos(x) + i sin(x) (20)

L¨ osung 7.2.

(a) Die Taylorentwicklung bis zur vierten Ordnung um den Entwicklungspunkt x 0 = 0 ist gegeben durch

T _f ⁰ (x) =

4

X

n=0

f ⁽ⁿ⁾ (0) ⁿ

n! · x ⁿ = f (0) + f ⁰ (0)· x + f ⁰⁰ (0)

2 · x ² + f ⁰⁰⁰ (0)

6 · x ³ + f ⁰⁰⁰⁰ (0)

24 · x ⁴ (21)

Also ben¨ otigen wir die jeweils ersten vier Ableitungen der Funktionen f (x), g(x) und

h(x):

f ⁰ (x) = cos(x) f ⁰⁰ (x) = − sin(x) f ⁰⁰⁰ (x) = − cos(x) f ⁰⁰⁰⁰ (x) = sin(x) (22) f ⁰ (0) = 1 f ⁰⁰ (0) = 0 f ⁰⁰⁰ (0) = −1 f ⁰⁰⁰⁰ (0) = 0 (23)

g ⁰ (x) = 4e ^2x g ⁰ (x) = 8e ^2x g ⁰⁰⁰ (x) = 16e ^2x g ⁰⁰⁰⁰ (x) = 32e ^2x (24) g ⁰ (0) = 4 g ⁰⁰ (0) = 8 g ⁰⁰⁰ (0) = 16 g ⁰⁰⁰⁰ (0) = 32 (25)

h ⁰ (x) = 3x ² + 6x + 2 h ⁰⁰ (x) = 6x + 6 h ⁰⁰⁰ (x) = 6 h ⁰⁰⁰⁰ (x) = 0 (26) h ⁰ (0) = 2 h ⁰⁰ (0) = 6 h ⁰⁰⁰ (0) = 6 h ⁰⁰⁰⁰ (0) = 0 (27) Damit ergeben sich folgende Approximationen:

T _f ⁰ (x) = x − 1

6 x ³ + O(x ⁵ ) (28)

T _g ⁰ (x) = 2 + 4x + 4x ² + 16

6 x ³ + 4

3 x ⁴ + O(x ⁵ ) (29)

T _h ⁰ (x) = x ³ + 3x ² + 2x + 1 (30)

Die Taylorreihe f¨ ur h(x) ist exakt, da es sich um ein Polynom 3. Grades handelt und so die Taylorreihe nach der dritten Ordnung abbricht.

(b) Wir beginnen mit der Reihe f¨ ur die Kreisfunktionen T _g ⁰ (x) = 1 + ix − 1

2 x ² − i 1

6 x ³ + 1

24 x ⁴ + i 1

120 x ⁵ + ... =

∞

X

n=0

i ⁿ

n! x ⁿ (31) Wobei nat¨ urlich zu beachten ist i ³ = −i, i ⁴ = 1 usw. Mithilfe der Taylorreihe der Exponentialfunktion

T _exp ⁰ (x) =

∞

X

n=0

1

n! x ⁿ (32)

sieht man nun sofort, dass

T _f ⁰ (x) =

∞

X

n=0

i ⁿ

n! x ⁿ = T _g ⁰ (x) (33) was genau der Eulerformel entspricht. Alternativ kann man auch nochmal die Taylor- reihe der Eulerformel machen und sieht dann direkt, dass es das gleiche ist.

Aufgabe 7.3 (4 P). (Vereinfachter Tunneleffekt)

In der theoretischen Chemie k¨ onnen Elektronen mit Wellenfunktionen beschrieben werden (und ihre Aufenthaltswahrscheinlichkeit mit deren Quadraten). Diese m¨ ussen im Allgemei- nen kontinuierlich sein, daher m¨ ussen sowohl die Funktion als auch ihre erste Ableitung stetig sein. Ein besonderer Effekt in der Physik ist das Aufeinandertreffen von Partikeln wie Elektronen und endlichen Potentialbarrieren, bei dem das Partikel eine geringe Wahrschein- lichkeit hat hinter der Barriere auffindbar zu sein. Die folgende Aufgabe dient dazu, verein- facht diesen Tunneleffekt zu beschreiben. Dazu wird versucht eine kontinuierliche Funktion

¨ uber alle Bereiche zu erstellen. Gegeben sind die beiden Funktionen f (A, φ, x) und g(x).

P artik el

x

Vereinfachter Tunneleffekt

(a) Sei f (A, φ, x) mit A = 1 und φ = ^π ₄ unsere Funktion vor der Potentialbarriere und g(x) ihr exponentieller Abfall innerhalb (siehe Abbildung 7.3). Passen Sie die Parameter von g(x) nun so an, dass die zusammengesetzte Funktion h(x) und ihre erste Ableitung

im Punkt x 0 = 0 stetig ist. (2 P)

f(A, φ, x) = A cos ² (x + φ) g(x) = be ^−cx h(x) =

( f (1, ^π ₄ , x) x ≤ 0 g(x) x > 0 (34) (b) Nach dem Abfall in der Barriere beginnt die Funktion wieder zu oszillieren. Bestimmen Sie die neue Amplitude von f (A, φ, x) im Punkt x ₁ = ln(2). Achten Sie hierbei darauf, dass die Phasenverschiebung aus a) jetzt um die Breite der Barriere verringert ist.

Desweiteren muss die zusammengesetzte Funktion P (x) in diesem Punkt stetig und stetig differenzierbar (daher muss die erste Ableitung stetig sein) bleiben. (2 P)

P (x) =



 

 

f (1, ^π ₄ , x) x ≤ 0

g(x) 0 < x ≤ ln(2) f (A, φ ⁰ , x) ln(2) < x

(35)

L¨ osung 7.3.

(a) Um die Stetigkeitsbedingungen von h(x) und h ⁰ (x) im Punkt x ₀ = 0 zu gew¨ ahrleisten, m¨ ussen folgende Gleichungen erf¨ ullt sein:

f (0) = g(0) ⇒ cos ² π 4

= b e ^−c0 ⇒ 1

2 = b (36)

f ⁰ (0) = g ⁰ (0) ⇒ −2 cos π 4

sin π 4

= −bc e ^−c0 ⇒ −1 = −bc (37) Somit hat man zwei Gleichungen, um zwei Variablen zu bestimmen. Man sieht sofort, dass b = ¹ ₂ und c = 2. Somit ist

g(x) = 1

2 e ^−2x . (38)

(b) Analog geht man nun an der Stelle x 1 = ln 2 vor. Es muss beachtet werden, dass von der Phase nun ln(2) zu subtrahieren ist. Demnach gilt φ ⁰ = ^π ₄ − ln(2) und damit:

g(ln(2)) = f

ln(2) + π

4 − ln(2)

⇒ 1

2 e ^{−2 ln(2)} = A cos ² π 4

⇒ A = 1 4 . (39) Uberpr¨ ¨ ufen durch Einsetzen in die Ableitung (der Shift war schon vorgegeben):

g ⁰ (ln(2)) = −2 e ^−2·ln(2) = −A cos π 4

sin π 4

= f ⁰ (ln(2)) ⇒ 1

4 = A (40)