Prof. Dr. U. Faigle SS 2005 B. Fuchs
9. ¨ Ubung zur Mathematik des Operations Research
Abgabe bis sp¨atestens Dienstag, 28. Juni um 10:05 in den Kasten im Vorraum der Bibliothek Aufgabe 1 Der gerichtete Graph G = (V, E) heißt
”stark zusammenh¨angend“, wenn es zu jedem Paar (v, w) ∈ V ×V mit v 6= w einen Weg P von v nach w gibt, der nur Vorw¨artskanten enth¨alt.
a) Zeigen Sie:G= (V, E) ist stark zusammenh¨angend ⇐⇒ ∀∅6=U (V : δ+(U) ={w∈V \U | ∃u∈U : (u, w)∈E} 6=∅.
b) Zeigen Sie: G = (V, E) ist stark zusammenh¨angend genau dann, wenn er zusam- menh¨angend ist und jede Kante auf einem gerichteten Kreis liegt.
c) Geben Sie ein Beispiel eines gerichteten GraphenG an, der
”zusammenh¨angend“, aber nicht
”stark zusammenh¨angend“ ist.
Aufgabe 2 Sei G = (V, E) ein gerichteter Graph mit einer Kantengewichtung c: E → R+. Sei u ∈ V ein fest gew¨ahlter Knoten mit der Eigenschaft, dass es von u zu jedem anderen Knoten v ∈V \ {u} einen Weg gibt, der nur Vorw¨artskanten benutzt.
Betrachten Sie den Algorithmus, der mit U = {u} und T = ∅ beginnt und folgenden Iterationsschritt beinhaltet:
Wenn δ+(U) 6= ∅, w¨ahle eine Kante e = (i, j) ∈ δ+(U) minimalen Gewichts und setze U ←U ∪ {j} und T ←T ∪ {e}.
a) Zeigen Sie, dass dieser Algorithmus immer einen aufspannenden BaumT findet.
b) Findet der Algorithmus auch immer einen minimalen solchen Baum? Geben Sie einen Beweis bzw. ein Gegenbeispiel an.
Aufgabe 3 Zeichnen Sie einen Graphen, der folgende Adjazenzmatrix A hat:
A=
−1 +1 0 0 0 0 0 0 0
+1 0 −1 0 0 0 −1 +1 +1 0 0 0 +1 0 −1 +1 0 0
0 0 0 0 0 +1 0 0 −1
0 −1 +1 −1 0 0 0 −1 0
Aufgabe 4 Sei A ∈ RV×E die Inzidenzmatrix des Graphen G = (V, E), und sei P das Polytop P ={x∈Rn | Ax=0,x≥0}.
Zeigen Sie: Ghat einen gerichteten Kreis ⇐⇒ P 6={0}.
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