Mathematik f¨ ur Naturwissenschaftler I WS 2020/21
Prof. Andreas Dreuw
Ubungsblatt 8¨ Ausgabe: Do 14.01.2021
Abgabe: Fr 22.01.2021 10:00
1 2 3 4 Σ
/ 21 P
Basiswissen
Kreisfunktionen, Hyperbelfunktionen, Poly- nome, Differentiation
Neue Themen
Bestimmte und unbestimmte Integrale, Inte- grieren durch Substitution, Eigenschaften von Integralen
Aufgabe 8.1 (8 P). (Integration)
(a) Berechnen Sie folgende bestimmte Integral indem Sie vorher die passenden unbestimm- ten Integrale aufstellen
F1= Z 2
1
f1(x)dx= Z 2
1
(2x2+ 3x+ 4)dx (1)
F2= Z ln(2)
0
f2(x)dx= Z ln(2)
0
(sinh(x) +e3x)dx (2) F3=
Z e4
e2
f3(x)dx= Z e4
e2
1
xdx (3)
(3 P) (b) Bestimmen Sie das Integral G f¨ura, b∈R,a >0,b > a
g(x) =
(ex x≥a
x2 x < a G= Z b
0
g(x)dx (4)
(1 P) (c) Bestimmen Sie das Integral H und vereinfachen Sie soweit wie m¨oglich
H = Z a
0
dx(18
ππf1(x) +99
38f2(x) +2048
614 f3(x)) + Z 0
a
(18
ππf1(x) +99
38f2(x) +2048 614 f3(x))
(5) (1 P) (d) Bestimmen Sie folgendes Integral. Argumentieren Sie hierf¨ur mit den Eigenschaften
der einzelnen Funktionen im Produkt.
I= Z a
−a
xsin(x)(x3+ 16 516πx)(99
18x2+ 4) cosh(x)dx (6) (1 P)
1
(e) Bestimmen Sie das folgende Integral Z
dx Z
dx Z
dx Z
dxsin(x)
(7) Welche Beziehung zwischen der Integration und Differentiation der Kreisfunktionen
k¨onnen Sie daraus schließen? (2 P)
Aufgabe 8.2 (6 P). (Substitution)
Bestimmen Sie folgende Integrale durch Substitution F1=
Z
f1(x)dx= Z
sin(2x+ 1)dx (8)
F2= Z
f2(x)dx= Z
x4(x5+ 2)3dx (9)
F3= Z
f3(x)dx= Z √
2x−2+ 3
4x3 dx (10)
F4= Z
f4(x)dx= Z
cos(x) sin(x)dx (11)
Aufgabe 8.3 (3 P). (Fl¨ache eines Dreiecks)
Bestimmen Sie durch geschickte Integration die Fl¨ache des Dreieckes welches durch die PunkteA(0/0),B(1/1) undC(1.5/0.75) aufgespannt wird.
Aufgabe 8.4 (4 P). (Beispielaufgaben zu Integration)
(a) F¨uhrt man dem Elektron der ¨außersten Schale eines Atoms genug Energie zu, kann man dieses Elektron aus der Schale entfernen. Diesen Vorgang nennt man Ionisation.
Berechnen Sie die aufzuwendende Energie um eine vereinfachte negativen Ladung ein ˚Angstr¨om Abstand von einer positiven Ladung entfernt ins Kontinuum (ins Un- endliche) zu entfernen. Verwenden Sie dazu folgende Kraftgleichung mit passenden Grenzen.
F(r) =Ce2
r2 (12)
e≈1.5·10−19As,C≈9·109V mAs.
Welche physikalische Bedeutung hat das Vorzeichen des Ergebnisses? (2 P) (b) F¨ur ein Forschungsprojekt messen Sie atmosph¨arische Druckver¨anderung in verschie-
denen H¨ohen. Aus ihren Messergebnissen geht folgende Relation hervor dp
dh =−C p (13)
mitC=−2·10−3 1m. Um eine Formel f¨ur die Abh¨angigkeit des Druckes von der H¨ohe herzuleiten, teilen Sie nun beide Seiten folgendermaßen auf
Z p(h1)
p(h0)
1
pdp=−C Z h1
h0
dh (14)
Integrieren Sie obrige Formel und bringen Sie sie auf die Formp(h1) =· · ·. Was w¨are eine passende Wahl f¨urp(Meeresspiegel) auf der Erde? (2 P)
2
