Melopoiia – Melodik / Melodieren

D´efinition. Une application f: (E, d) → (F, δ) est un hom´eomorphisme si elle est bijective, continue et sif⁻¹ est continue.

Remarque. La compos´ee de deux hom´eomorphismes est un hom´eomorphisme. Etre hom´eomorphe d´efinit une relation d’´equivalence sur l’ensemble des espaces m´etriques.

2.6. ´EQUIVALENCES ENTRE DISTANCES 31 Exemples.

– La fonction f(x) = _1+|x|^x deR sur ]−1,1[ d´efinit un hom´eomorphisme de r´eciproque f⁻¹(y) = _1−|y|^y .

Proposition 2.25. L’espace m´etrique R n’est pas hom´eomorphe `a l’espace m´etrique [0,∞).

D´emonstration. On raisonne par contradiction. On se ram`ene `a un hom´eomorphisme f: [0,∞) → R tel que f(0) = 0 et f(1) > 0. On montre alors quef(x)≥0 pour toutx >0 : sinon il existe x₀ >0 tel quef(x₀)<0 et le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires entre x₀ et 1 implique l’existence dey entre x₀ et 1 tel que f(y) = 0 =f(0) — une contradiction.

Exercice. D´eterminer les classes d’´equivalence sur l’ensemble des intervalles deR.

Proposition 2.26. L’espace m´etrique S¹ avec la m´etrique induite par l’in-clusion dans R² n’est hom´eomorphe `a aucun intervalle de R.

D´emonstration. NotonsN = (0,1) le pˆole nord deS¹. Observons d’abord que S¹\ {N}est hom´eomorphe `aR: la projection st´er´eographiquef(x, y) = _1−y^x d´efinit un hom´eomorphisme de r´eciproquef⁻¹(r) = (_1+r^2r2,1− _1+r²2). Suppo-sons alors queg: S¹ →I soit un hom´eomorphisme entreS¹ et un intervalleI deR. On peut supposer queg(N) n’est pas sur le bord de l’intervalle (quitte

`

a composer au d´epartg avec une rotation), donc I\ {g(N)} est une r´eunion de 2 intervalles disjoints. Or

g_S¹\{N}: S¹\ {N} −→I\ {g(N)}

est un hom´eomorphisme donc g ◦ f⁻¹ est un hom´eomorphisme de R sur I−g(N)⊂R. Or l’image continue deR doit ˆetre un intervalle deR, d’o`u la contradiction.

Lemme 2.27. Dans un EVN, toute boule ouverte est hom´eomorphe `a E.

D´emonstration. On consid`ere l’application f(x) = _1+||x||^x de E dans B(0,1), de r´eciproque f⁻¹(y) = _1−||y||^y .

D´efinition (equivalence entre distances). On dit que deux distances d etd⁰ sur un ensemble E sonttopologiquement ´equivalentes si l’application identit´e de (E, d) dans (E, d⁰) est un hom´eomorphisme.

Remarque.

– Si D est une collection de distances sur un ensemble E, l’´equivalence topologique est une relation d’´equivalence sur D.

– Visuellement, cela dit que les boules de (E, d) et de (E, d⁰) s’emboitent les unes dans les autres : pour tout x∈E,

∀ε >0,∃η >0 tel queBd(x, η)⊂Bd⁰(x, ε) et inversement.

Exemples.

– d et d⁰ = min(1, d) sont topologiquement ´equivalentes vu que Bd(x, ε) co¨ıncide avec B_d⁰(x, ε) pour tout 0 < ε < 1. De mˆeme, d et _1+d^d sont topologiquement ´equivalentes.

– SurC([0,1],R), les distances induites par les normes|| ||∞et|| ||1ne sont pas topologiquement ´equivalentes. En effet la suite (f_n) deE o`uf<sub>n</sub> est affine par morceaux, vaut 1 en 0 et 0 sur [1/n,1] converge pour || ||<sub>1</sub> mais pas pour|| ||∞. La pr´esence d’une suite convergeant par rapport `a une distance et non convergeant par rapport `a l’autre suffit grˆace aux propri´et´es suivantes.

Proposition 2.28. Soient d et d⁰ deux distances sur E. Les assertions sui-vantes sont ´equivalentes.

i. Les distances d et d⁰ sont topologiquement ´equivalentes

ii. Les espaces (E, d) et (E, d⁰) ont les mˆemes suites convergentes.

iii. Pour tout espace m´etrique(F, δ), les fonctions continues de (E, d)dans (F, δ) et de (E, d⁰) dans (F, δ) sont les mˆemes.

iv. Pour tout espace m´etrique (F, δ) les fonction continues de (F, δ) dans (E, d) et de (F, δ) dans (E, d⁰) sont les mˆemes.

D´emonstration. l’´equivalence de (1) et (2) se montre avec le crit`ere s´equentiel, celle de (1) avec (3) et (4) en composant par l’identit´e au bon endroit.

D´efinition. on dit que deux distances d et d⁰ sur E sont ´equivalentes s’il existe des constantes a, b >0 telles que

ad(x, y)≤d⁰(x, y)≤bd(x, y), pour toutx, y ∈E.

Exemples.

2.6. ´EQUIVALENCES ENTRE DISTANCES 33 – Sur Rⁿ, les distances d₁, d₂, d_∞ sont ´equivalentes car

d1

n ≤d∞ ≤d₂ ≤d₁ ≤√

nd₂ ≤nd∞.

– Sur (E, d), si d est non born´ee, d et min(1, d) sont topologiquement

´equivalentes mais pas ´equivalentes.

Remarque. Sid etd⁰ sont ´equivalentes, elles ont les mˆemes parties born´ees (faux avec l’´equivalence topologique seule).

On se situe dans le cadre des EVN. On consid`ere des normes sur un espace vectorielE et les distances associ´ees. On dira que les normes sont to-pologiquement ´equivalentes ou bien simplement ´equivalentes au sens pr´ecis´e ci-dessus si les distances associ´ees le sont.

Remarque. Il suffit de v´erifier ces propri´et´es en 0. En effet deux normes|| ||

et|| ||⁰ sont ´equivalentes si et seulement si il existea, b >0 tels que pour tout x∈E,

a||x|| ≤ ||x||⁰ ≤b||x||

L’homog´en´eit´e et l’invariance par translation de ces distances induisent `a penser que les deux notions d’´equivalence co¨ıncident sur les EVN. Effective-ment on a le th´eor`eme 2.29 ci-dessous.

Exercice. Afin de mieux comprendre les preuves qui suivent il convient de bien maitriser les in´egalit´es entre normes qu’on vient de donner. Clairement l’existence dea >0 tel quea||x|| ≤ ||x||⁰ pour tout x´equivaut `a l’existence de a<sup>0</sup> >0 tel que||x|| ≤a<sup>0</sup>||x||<sup>0</sup>(il suffit de prendrea<sup>0</sup> = 1/a). D´emonter que si une suite converge vers une limite donn´e` par rapport `a la norme || ||<sup>0</sup>, alors elle converge vers la mˆeme limite` par rapport `a la norme || ||. Donner aussi une caract´erisation en terme de boules de la relationa||x|| ≤ ||x||<sup>0</sup>; montrer que cela revient `a dire que toute boule par rapport `a la norme || ||<sup>0</sup> est contenue dans une boule du mˆeme centre par rapport `a la norme || ||. Remarquer comment cette implication inverse l’ordre de l’in´egalit´e a||x|| ≤ ||x||⁰. De mˆeme dans la preuve qui suit on montre comment la continuit´e de l’application identit´e de (E,|| ||⁰) vers (E,|| ||) entraine a||x|| ≤ ||x||⁰.

Th´eor`eme 2.29. Soient|| ||et|| ||⁰ deux normes topologiquement ´equivalentes sur un espace vectoriel E. Alors elles sont ´equivalentes.

D´emonstration. Par continuit´e en 0 de l’application identit´e de (E,|| ||⁰) dans (E,|| ||) il existeη >0 tel que si||x||⁰ ≤ηalors||x|| ≤1. Soit alorsx∈E\ {0}.

Clairement || η_||x||^x0 ||⁰ = η, donc on a || η_||x||^x0 || ≤ 1. On en d´eduit que pour tout x deE

||x|| ≤ 1 η||x||⁰.

L’autre in´egalit´e s’obtient de la mˆeme fa¸con.

Voici maintenant un r´esultat fondamental.

Th´eor`eme 2.30. Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Alors les normes sur E sont toutes ´equivalentes.

D´emonstration. Consid´erons d’abord le cas des espaces vectoriels r´eels. On se donne une norme de r´ef´erence|| ||∞surE en choisissant une base (e₁,· · · , e_n) de E et en posant pour x = λ₁e₁ +· · · +λ_ne_n, ||x||∞ = max_i|λ_i|. Alors l’application

φ: (E,|| ||_∞)−→(Rⁿ,|| ||_∞)

d´efinie par φ(λ₁e₁ +· · ·+λ_ne_n) = (λ₁,· · · , λ_n) est un isomorphisme et on a ||φ(x)||∞ = ||x||∞. On en d´eduit que (E,|| ||∞) satisfait la conclusion du th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass (th´eor`eme 2.13 ). On consid`ere alors une norme quelconque|| || surE. On a pour tout x∈E l’in´egalit´e

||x|| ≤

n

X

i=1

||e_i||

!

||x||∞. (2.1)

On rappelle que ceci signifie qu’une suite qui converge vers un ´el´ement x donn´e par rapport `a la norme || ||∞, converge vers le mˆeme ´el´ement x par rapport `a|| ||.

L’autre in´egalit´e s’obtient par contradiction : la n´egation de

∃a >0 tel que ∀x∈E, a||x||∞≤ ||x||

donne une suite (x_m) telle que ||x_m||∞/m > ||x_m||. En posant y_m = _||x^xm

m||∞

(car ||x_m||_∞ > 0) on a ||y_m||_∞ = 1 et ||y_m|| → 0. D’une part (y_m) converge vers 0 dans (E,|| ||) et, grˆace `a (2.1), aussi dans (E,|| ||∞) (faire l’exercice qui pr´ec`ede cette preuve). D’autre part, par BW, quitte `a extraire, (y_n) converge dans (E,|| ||_∞) versy de norme 1 doncy6= 0 ∈E. Ceci contredit l’unicit´e de la limite.

Dans le cas d’un espace vectoriel sur C, on se donne une isom´etrie vers (Cⁿ,|| ||∞). Comme (C,| |) satisfait BW (il est isom´etrique `a (R²,|| ||2)), (Cⁿ,|| ||∞) aussi (voir preuve du th. 2.13).

Remarque. L’hypoth`ese dimension finie est primordiale : les normes || ||∞

et|| ||₁ surC([0,1],R) ne sont pas ´equivalentes.

Corollaire 2.31. Tout EVN de dimension finie satisfait la conclusion du th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass.

In document Dramaturgie im Lehrstückunterricht. Himmelsuhr und Erdglobus – Howards Wolken – Erd-Erkundung mit Sven Hedin. Ein Beitrag zur Theorie, Praxis und Poiesis der Lehrkunstdidaktik (Page 90-94)