2. Demografische Einflussgrößen
2.2 Generative Dynamik
4.1. Le problème des fonctions implicites.
• Considérons pour commencer une partie D de R2, et une fonction F : D → R. L’ensemble Γ = { (x, y) ∈ D ; F(x, y) = 0 } est une partie de D qui peut être de nature quelconque : on l’appelle courbe d’équation implicite F(x, y) = 0, mais attention, le mot « courbe » est à prendre ici en un sens très vague.
Dans certains cas simples, l’équation F(x, y) = 0 peut se résoudre élémentairement en y ; ainsi, lorsque F(x, y) est une fonction polynomiale en y de degré ≤ 4, on peut discuter et résoudre par radicaux l’équation F(x, y) = 0 pour chaque valeur de x. Γ est alors réunion de un ou plusieurs graphes fonctionnels y = f(x).
De même, lorsque F(x, y) est de la forme f(x) − g(y), on pourra étudier les variations de f et g, et écrire F(x, y) = 0 ⇔ y = (h o f)(x) , où h est une réciproque, globale ou partielle, de g.
Dans d’autres cas, on peut arriver à paramétrer tout ou partie de Γ, c’est-à-dire décrire les couples (x, y) tels que F(x, y) = 0 au moyen d’un paramètre t ; on trouvera deux fonctions a et b : I → R vérifiant (∀t ∈ I) (a(t), b(t)) ∈ D et F(a(t), b(t)) = 0 ,
voire même (x, y) ∈ Γ ⇔ (∃t ∈ I) (x, y) = (a(t), b(t)).
Γ contient alors le support d’un arc paramétré, voire même est réduit à lui.
Définition : On appelle fonction implicite associée à F toute fonction f : I ⊂ R → R telle que (∀x ∈ I) (x, f(x)) ∈ D et F(x, f(x)) = 0, autrement dit, telle que Γ = { (x, y) ∈ D ; F(x, y) = 0 } contienne le graphe de f.
• Considérons maintenant un système de n équations à p inconnues (p ≥ n) : f1(x1 , x2 , … , xp) = 0
(S) . . . . fn(x1 , x2 , … , xp) = 0
Lorsque ce système est linéaire, on a vu comment le résoudre dans le cours d’algèbre : une fois choisi un système d’équations et d’inconnues principales, on cherche à exprimer les inconnues auxiliaires au moyen des inconnues principales. Que peut-on dire de général lorsque (S) est non linéaire ? Sous certaines hypothèses, on procédera comme dans le cas linéaire, et l’on pourra exprimer, au moins par la pensée, certaines variables en fonction des autres.
4.2. Le théorème des fonctions implicites.
Nous allons donner deux énoncés de ce théorème, avec une équation puis plusieurs. Nous les admettrons et les commenterons, rejetant les démonstrations au § 5.
Théorème des fonctions implicites : cas d’une équation.
Soit U un ouvert de Rn, F : U → R une fonction de classe Ck (1 ≤ k ≤ +∞). Soit a = (a1, …, an)∈U tel que F(a1, …, an) = 0 et Dn F(a1, …, an) ≠ 0.
Il existe un voisinage U(a1, …, an−1)×]an − r , an + r[ ⊂ U et une fonction ϕ : U(a1, …, an−1) → R de classe Ck tels que : an = ϕ(a1, …, an−1) et :
∀(x1, …, xn−1 , xn) ∈ U(a1, …, an−1)×]an− r , an + r[ F(x1, …, xn) = 0 ⇔ xn = ϕ(x1, …, xn−1).
Traduisons ce théorème dans les cas n = 2 et 3.
Courbes définies par une équation implicite.
Soient U un ouvert de R2, F ∈ Ck(U ; R) , 1 ≤ k ≤ +∞ , Γ la « courbe » { (x, y) ∈ U ; F(x, y) = 0 }.
• Soit (a, b) ∈ U un point tel que F(a, b) = 0 et y
∂F
∂ (a, b) ≠ 0.
Alors, dans un voisinage de (a, b), Γ∩]a − r , a + r[×]b − s , b + s[ est le graphe d’une fonction ϕ de classe Ck : ]a − r , a + r[ → ]b − s , b + s[.
On a F(x , ϕ(x)) = 0 dans ]a − r , a + r[, donc, par la règle de la chaîne : • Si maintenant F(a, b) = 0 et
x
∂F
∂ (a, b) ≠ 0, alors, dans un voisinage de (a, b), Γ∩]a − r, a + r[×]b
− s, b + s[ est le graphe d’une fonction ψ de classe Ck : ]b − s , b + s[ → ]a − r , a + r[.
On a F(ψ(y) , y) = 0 dans ]b − s , b + s[, etc.
•••• On dit que la courbe Γ est régulière si, pour tout point (x, y) ∈Γ , grad F(x, y) ≠0.
Il résulte de ce qui précède qu’au voisinage de chacun de ses points, une courbe régulière de classe Ckpeut être paramétrée de manière cartésienne :
y = ϕ(x) et/ou x = ψ(y) , ϕ et/ou ψ étant de classeCk . de plus, grad F(x, y) est normal à la courbe Γ en chacun de ses points.
Exemple 1 : Le cercle x2 + y2 = 1.
Ici F(x, y) = x2 + y2 − 1. C’est une courbe régulière, car (x, y) ≠ 0 sur Γ.
Les points de Γ où y
∂F
∂ = 0 sont (±1, 0). Au voisinage des autres points (a, b), F(x, y) = 0 se résout en y = ε. 1 x− ² , où ε = sgn b. Ce sont deux fonctions implicites de classe C1, définies sur ]−1, +1[.
Les points de Γ où x
∂F
∂ = 0 sont (0, ±1). Au voisinage des autres points (a, b), F(x, y) = 0 se résout en x = ε. 1 y− ² , où ε = sgn a. Ce sont deux fonctions implicites de classe C1, définies sur ]−1, +1[.
Exemple 2 : Les courbes x2 = y2 et x3 = y3 .
Ici y = ±x, resp. y = x. Le théorème des fonctions implicites s’applique, sauf au point (0, 0).
Dans le premier cas, au voisinage de (0, 0), la conclusion n’est pas valable : Γ n’est pas un graphe fonctionnel. Dans le second cas, la conclusion est valable : Γ est un graphe fonctionnel au V(0, 0).
Surfaces définies par une équation implicite.
Soient U un ouvert de R3, F ∈ Ck(U ; R) , 1 ≤ k ≤ +∞, Σ la surface { (x, y, z) ∈ U ; F(x, y, z) = 0 }.
• Soit (a, b, c) ∈ U un point tel que F(a, b, c) = 0 et z
∂F
∂ (a, b, c) ≠ 0.
Alors, dans un voisinage de (a, b, c), Σ∩ ]a − r , a + r[×]b − s , b + s[×]c − t , c + t[ est le graphe d’une fonction ϕ de classe Ck : ]a − r , a + r[×]b − s , b + s[ → ]c − t , c + t[.
On a F(x , y, ϕ(x, y)) = 0 dans ]a − r , a + r[×]b − s , b + s[, donc, par la règle de la chaîne : • Résultats analogues si
y
∂F
∂ (a, b, c) ≠ 0 ou x
∂F
∂ (a, b, c) ≠ 0.
•••• On dit que la surface Σ est régulière si, pour tout point (x, y, z) ∈ Σ , gradF(x, y, z) ≠ 0.
Il résulte de ce qui précède qu’au voisinage de chacun de ses points, une surface régulière de classe Ckpeut être paramétrée de manière cartésienne :
z = ϕ(x, y) et/ou y = ψ(x, z) et/ou x = χ(y, z) , ϕ , ψ , χ étant de classeCk . De plus, gradF(x, y, z) est normal à la surface Σ en chacun de ses points.
Théorème des fonctions implicites : cas des systèmes.
Considérons un système de n équations à p + n inconnues :
f1(x1, … , xp , y1 , … , yn) = 0 (S) . . . .
fn(x1, … , xp , y1 , … , yn) = 0
où f1, …, fn sont des fonctions de classe C1 définies sur un ouvert Ω de Rp×Rn , à valeurs réelles.
Soit c = (a, b) = (a1, … , ap , b1 , … , bn) ∈ Ω une solution de (S) telle que la matrice jacobienne (
j i
y f
∂
∂ (a, b)) soit inversible.
Alors il existe • un voisinage ouvert U(a) de a = (a1, … , ap) , • un voisinage ouvert V(b) de b = (b1, … , bn) , • des fonctions ϕ1, …, ϕn de classe C1 : U(a) → R , tels que U(a)×V(b) ⊂Ω et que (x, y) ∈ U(a)×V(b) est solution de (S) ssi :
y1 = ϕ1( x1 , … , xp)
. . . .
xn = ϕn(x1 , … , xp)
Si les fi sont de classe Ck (1 ≤ k ≤ +∞), les ϕi le sont aussi.
∀x ∈ U(a) ϕ’(x) = − [f’y(x , ϕ(x)]−1 o [f’x(x , ϕ(x)]
et en particulier ϕ’(a) = − [f’y(a , b)]−1 o [f’x(a , b)].
En termes plus abstraits :
Théorème des fonctions implicites.
Soient E, F et G trois R-ev de dimension finie, avec dim F = dim G, Ω un ouvert de E×F, f : (x, y) ∈Ω→ z = f(x, y) ∈ G une application de classe C1.
Soit c = (a, b) ∈ Ω un point tel que : f(a, b) = 0 et f’y(a, b) ∈ Isom(F, G) . Alors il existe • un voisinage ouvert U(a) de a,
• un voisinage ouvert V(b) de b,
• une fonction de classe C1, ϕ : U(a) → V(b) tels que :
U(a)×V(b) ⊂ Ω et ∀(x, y) ∈ U(a)×V(b) f(x, y) = 0 ⇔ y = ϕ(x) . Si f est de classe Ck (1 ≤ k ≤ +∞), ϕ l’est aussi. On a :
∀x ∈ U(a) ϕ’(x) = − [f’y(x , ϕ(x)]−1 o [f’x(x , ϕ(x)]
et en particulier ϕ’(a) = − [f’y(a , b)]−1 o [f’x(a , b)].
Cette existence se double d’un résultat d’unicité locale : Soient U’(a) et V’(b) des voisinages ouverts de a et b resp., γ une fonction : U’(a) → V’(b) continue en a et telle que :
U’(a)×V’(b) ⊂Ω et f(x, y) = 0 ⇔ y = γ(x) dans U’(a)×V’(b).
Alors ϕ et γ coïncident dans un voisinage de a.
Application : intersection de deux surfaces.
Soient S et S’ deux surfaces définies implicitement par les équations : F(x, y, z) = 0 et G(x, y, z) = 0 , tel que V ∩ S ∩ S’ soit le support d’un arc admettant la représentation paramétrique y = ϕ(x), z = ψ(z), où ϕ et ψ sont des fonctions de classe Ck sur un intervalle ouvert I contentant x0, telles ϕ(x0) = des plans tangents en M0 à S et S’, plans qui existent et sont distincts par hypothèse.
• Lorsque f et g sont des fonctions polynomiales, les surfaces S et S’ sont algébriques, et l’étude de l’intersection des surfaces est un problème de géométrie algébrique réelle autant que de géométrie différentielle, qui sort largement du cadre d’un exposé élémentaire. Contentons-nous de noter qu’il faut alors considérer, dans l’anneau factoriel mais non euclidien R[X, Y, Z], l’idéal non principal ℑ engendré par les polynômes f et g :
ℑ = { f.P + g.Q ; P, Q ∈ R[X, Y, Z] }.
S ∩ S’ est l’ensemble des zéros communs des polynômes de ℑ. On est ramené à des techniques d’élimination ou de bases de Gröbner.
Les intersections de quadriques (cônes, cylindres, sphères, etc.) rentrent dans ce cadre.
Exercices
Le théorème des fonctions implicites est un outil puissant mais local. Si l’on veut obtenir une description globale d’une courbe F(x, y) = 0, mieux vaut chercher à paramétrer cette courbe au moyen d’un paramètre t (éventuellement égal à x ou y).
Les commandes implicitplot et implicitplot3d de Maple (package plots) représentent de telles courbes et surfaces, de façon parfois imprécise (notamment au voisinage des points critiques, ce qui est logique, il faut alors demander un numpoints élevé).
Exercice 1 : Soient U un ouvert de R2, f : U → R une fonction de classe C2. Ecrire une condition suffisante pour que, localement, autour d’un point (a, b) tel que f(a, b) = 0, la relation f(x, y) = 0 définisse y = ϕ(x) comme fonction de x de classe C2, et calculer ϕ’’(x).
Exercice 2 : Soient U un ouvert de R3, f : U → R une fonction de classe C2. Ecrire une condition suffisante pour que, localement, autour d’un point (a, b, c) tel que f(a, b, c) = 0, la relation f(x, y, z) = 0 définisse z = ϕ(x, y) comme fonction de (x, y) de classe C2. Calculer ses dérivées partielles d’ordre 2, ainsi que r.t – s2.