Grenzwerte an einer Stelle - Übungsaufgaben mit Videos

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(1)BEISPIELAUFGABEN ZUM ONLINE-KURS MATHEMATIK-ÜBUNGEN - GRENZWERTE AN EINER STELLE Dieser Kurs beinhaltet: * Grenzwerte an einer Stelle bestimmen * Grenzwert einer gebrochen-rationalen Funktion an einer Definitionslücke * Senkrechten Asymptoten berechnen * Unterschied zwischen Polstelle und hebbare Definitionslücke * Vorzeichenwechsel an einer Polstelle untersuchen * Polstelle und ihre Art am Graphen der Funktion angeben * An der Funktionsgleichung erkennen, ob eine Polstelle mit bzw. ohne Vorzeichenwechsel vorliegt. Auf den folgenden Seiten finden Sie Beispielaufgaben zum Online-Kurs "Grenzwerte an einer Stelle" bei unterricht.de. KOSTENLOSER ONLINE-KURS. JETZT ONLINE ÜBEN. Dieses Material darf im Unterricht verwendet werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(2) Frage Die Funktion f (x ) =. x −1 hat an der Stelle x = −1 eine Definitionsl¨ ucke. x +1. Untersuche das Verhalten der Funktion in der Umgebung der Definitionsl¨ ucke indem Du die Grenzwerte lim f (x ) und lim f (x ) bildest. x →−1+. x →−1−. Antwortm¨ oglichkeiten A:. B:. C:. D:. E:. x x →−1+ x x lim x →−1− x lim. −1 = +∞ +1 −1 = +∞ +1. x −1 = −1 +1 x −1 lim = −1 − x →−1 x + 1 lim. x →−1+ x. x x x lim − x →−1 x. −1 = −∞ +1 −1 = +∞ +1. x x x lim x →−1− x. −1 = −∞ +1 −1 = −∞ +1. lim. x →−1+. lim. x →−1+. x −1 = +∞ +1 x −1 lim = −∞ − x →−1 x + 1 lim. x →−1+ x. Lo ¨sung. c unterricht.de | support-id: 9208. Seite 1. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(3) Kurs: Grenzwerte an einer Stelle Vorstellung: Man spricht bei der Ann¨ aherung an eine Polstelle vom rechtseitigen Grenzwert und linksseitigen Grenzwert.. Man nähert sich also auf dem Graphen dem x-Wert der Polstelle und beobachtet, wie sich der Graph verhält (z.B.: er geht ins positive Unendliche). Rechtsseitiger Grenzwert an die Definitionsl¨ ucke: →−2. z }| { x −1 lim f (x ) = lim = −∞ x →−1+ x →−1+ x + 1 | {z } →0+. Linksseitiger Grenzwert an die Definitionsl¨ ucke: →−2. z }| { x −1 lim f (x ) = lim = +∞ x →−1− x →−1− x + 1 | {z } →0−. c unterricht.de | support-id: 9208. Seite 2. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(4) Frage Bestimme die Gleichung aller senkrechten Asymptoten. f (x ) =. 2 x +1. Antwortm¨ oglichkeiten A:. y = −1. B:. x =2. C:. y =2. D:. x = −1. E:. x = −1+. und. x = −1−. L¨ osung Die Definitionsl¨ ucke erkennt man an der Nullstelle des Nenners. Es liegt genau dann eine senkrechte Asymptote vor, wenn die Nullstelle des Nenners nicht auch Nullstelle des Z¨ ahlers ist. Nullstelle des Nenners: x = −1 Der Zähler hat keine Nullstelle.. c unterricht.de | support-id: 16336. Seite 1. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(5) Kurs: Grenzwerte an einer Stelle Die senkrechte Asymptote liegt bei x = −1. Rechnerischer Beweis: →2. z}|{ 2 = +∞ lim f (x ) = lim x →−1+ x →−1+ x + 1 | {z } →0+ →2. z}|{ 2 = −∞ lim f (x ) = lim x →−1− x →−1− x + 1 | {z } →0−. c unterricht.de | support-id: 16336. Seite 2. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(6) Frage Entscheide, ob es sich bei der/den Definitionsl¨ ucke/n um eine Polstelle oder eine hebbare Definitionsl¨ ucke handelt. f (x ) =. (x + 3) · (x + 1) , (x − 2) · (x − 3). x = 2,. x =3. Antwortm¨ oglichkeiten A:. x = 2 Polstelle x = 3 Polstelle. B:. x = 2 Polstelle x = 3 hebbare Definitionsl¨ ucke. C:. x = 2 hebbare Definitionsl¨ ucke x = 3 hebbare Definitionsl¨ ucke. D:. x = 2 hebbare Definitionsl¨ ucke x = 3 Polstelle. L¨ osung Die Definitionsl¨ ucke erkennt man an der Nullstelle des Nenners. Es liegt genau dann eine Polstelle vor, wenn die Nullstelle des Nenners nicht auch Nullstelle des Zählers ist. Es liegt genau dann eine hebbare Definitionsl¨ ucke vor, wenn die Nullstelle des Nenners auch die Nullstelle des Z¨ ahlers ist. Nullstellen des Nenners: x = 2 und x = 3 Nullstelle des Z¨ ahlers: x = −3 und x = −1. c unterricht.de | support-id: 16342. Seite 1. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(7) Kurs: Grenzwerte an einer Stelle f hat bei x = 2 eine Polstelle. Rechnerischer Beweis der Polstelle: →15. }| { z →5 →3 z }| { z }| { (x + 3) · (x + 1) = −∞ lim f (x ) = lim x →2+ x →2+ (x − 2) · (x − 3) | {z } | {z } + →−1 } | →0 {z →0− →15. }| { z →5 →3 z }| { z }| { (x + 3) · (x + 1) lim f (x ) = lim = +∞ x →2− x →2− (x − 2) · (x − 3) | {z } | {z } − →−1 | →0 {z } →0+. f hat auch bei x = 3 eine Polstelle. Rechnerischer Beweis der Polstelle: →24. }| { z →6 →4 z }| { z }| { (x + 3) · (x + 1) = +∞ lim f (x ) = lim x →3+ x →3+ (x − 2) · (x − 3) | {z } | {z } + →1 | {z →0 } →0+ →24. z }| { →6 →4 z }| { z }| { (x + 3) · (x + 1) lim f (x ) = lim = −∞ x →3− x →3− (x − 2) · (x − 3) | {z } | {z } − →1 | {z →0 } →0−. c unterricht.de | support-id: 16342. Seite 2. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(8) Frage Bestimme den Vorzeichenwechsel bei der Polstelle. f (x ) =. −6 , (x − 3)2. x0 = 3. Antwortmo ¨glichkeiten A:. x 0 = 3 ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel Minus nach Plus“ ”. B:. x 0 = 3 ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel Plus nach Minus“ ”. C:. x 0 = 3 ist eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel Plus nach Plus“ ”. D:. x 0 = 3 ist eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel Minus nach Minus“ ”. L¨ osung Vorstellung: Man spricht bei der Ann¨ aherung an eine Polstelle vom rechtsseitigen Grenzwert und linksseitigen Grenzwert.. c unterricht.de | support-id: 9240. Seite 1. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(9) Kurs: Grenzwerte an einer Stelle Man nähert sich also auf dem Graphen dem x-Wert der Polstelle und beobachtet, wie sich der Graph verhält (z.B.: er geht ins positive Unendliche) Linksseitiger Grenzwert an die Definitionsl¨ ucke: →−6. z}|{ −6 = −∞ lim f (x ) = lim − − x →3 x →3 (x − 3)2 | {z } →0+. ⇒ Damit von links“ kommend negatives Vorzeichen. ” Rechtsseitiger Grenzwert an die Definitionsl¨ ucke: →−6. z}|{ −6 lim f (x ) = lim = −∞ + + x →3 x →3 (x − 3)2 | {z } →0+. ⇒ Damit von rechts“ kommend negatives Vorzeichen. ”. c unterricht.de | support-id: 9240. Seite 2. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(10) Frage Bestimme anhand des Graphen die Polstelle und ihre Art.. Antwortm¨ oglichkeiten A:. x 0 = 0 ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel Plus nach Minus“ ”. B:. x 0 = 0 ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel Minus nach Plus“ ”. C:. x 0 = 1 ist eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel Minus nach Minus“ ”. D:. x 0 = 1 ist eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel Plus nach Plus“ ”. L¨ osung Bei einer Polstelle hat die Funktion eine senkrechte Asymptote. Hier liegt bei x = 1 eine senkrechte Asymptote vor. Damit hat die Funktion bei x = 1 eine Polstelle.. c unterricht.de | support-id: 9252. Seite 1. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(11) Kurs: Grenzwerte an einer Stelle Der Graph der Funktion geht links von der Polstelle nach Minus Unendlich. Der Graph der Funktion geht rechts von der Polstelle nach Minus Unendlich. x 0 = 1 ist eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel Minus nach Minus“ ”. c unterricht.de | support-id: 9252. Seite 2. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(12) Frage Welche der aufgelisteten Funktionen hat an der Stelle x = 5 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel?. Antwortm¨ oglichkeiten A: B:. −2 (x + 5)2 3 f (x ) = 2x − 10 f (x ) =. C:. f (x ) =. x −5 x +5. D:. f (x ) =. 5 (x − 5)2. L¨ osung Eine gebrochen-rationale Funktion mit einer Polstelle bei x = 5 muss die Nullstelle x = 5 im Nenner haben. Die Funktionen f (x ) =. 3 5 und f (x ) = haben bei x = 5 eine Nennernullstelle. 2x − 10 (x − 5)2. Ist die Vielfachheit einer Nennernullstelle gerade, so liegt an dieser Stelle eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor. Z .B . : f (x ) =. 1 x2. Ist die Vielfachheit einer Nennernullstelle ungerade, so liegt an dieser Stelle eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor. Z .B . : f (x ) =. 1 x. c unterricht.de | support-id: 16355. Seite 1. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(13) Kurs: Grenzwerte an einer Stelle. f (x ) =. 3 hat an der Stelle x = 5 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. 2x − 10. c unterricht.de | support-id: 16355. Seite 2. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(14) Frage Welche der aufgelisteten Funktionen hat an der Stelle x = −2 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel?. Antwortm¨ oglichkeiten A: B: C: D:. −7 5(x + 2)2 5 f (x ) = 2+x f (x ) =. −3 (x − 2)2 −3 f (x ) = 4 − 2x f (x ) =. Lo ¨sung Eine gebrochen-rationale Funktion mit einer Polstelle bei x = −2 muss die Nullstelle x = −2 im Nenner haben. Die Funktionen f (x ) =. 5 −7 und f (x ) = haben bei x = −2 eine Nennernullstelle. 2+x 5(x + 2)2. Ist die Vielfachheit einer Nennernullstelle gerade, so liegt an dieser Stelle eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor. Z .B . : f (x ) =. 1 x2. Ist die Vielfachheit einer Nennernullstelle ungerade, so liegt an dieser Stelle eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor. Z .B . : f (x ) =. 1 x. c unterricht.de | support-id: 16363. Seite 1. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(15) Kurs: Grenzwerte an einer Stelle. f (x ) =. −7 hat an der Stelle x = −2 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. 5(x + 2)2. c unterricht.de | support-id: 16363. Seite 2. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(16) Frage Welche gebrochen-rationale Funktion f erf¨ ullt folgende Eigenschaften: • Der Graph schneidet an der Stelle x = −5 die x -Achse • f hat x = 5 als Polstelle. Antwortm¨ oglichkeiten A:. f (x ) =. x −5 x +5. B:. f (x ) =. x +5 x −5. C:. f (x ) =. x −5 x −5. D:. f (x ) =. x +5 x +5. L¨ osung Zuerst solltest Du die Eigenschaften der gebrochen-rationalen Funktion einzeln umsetzen. Der Graph schneidet an der Stelle x = −5 die x -Achse“ : ” ⇒ f (x ) =. Nullstelle bei x = −5 x +5 ···. “ f hat x = 5 als Polstelle“ : ⇒. Nennernullstelle bei x = 5. c unterricht.de | support-id: 16395. Seite 1. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(17) Kurs: Grenzwerte an einer Stelle. f (x ) =. x +5 x −5. Diese Funktion erf¨ ullt beide geforderten Eigenschaften.. c unterricht.de | support-id: 16395. Seite 2. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org).

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