ln-Funktion ableiten - logarithmische Integration - Übung

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(1)BEISPIELAUFGABEN ZUM ONLINE-KURS MATHEMATIK-ÜBUNGEN - LN-FUNKTION Dieser Kurs beinhaltet: * Eigenschaften der ln-Funktion * Definitionsbereich einer ln(g(x))-Funktion * Nullstellen einer ln(g(x))-Funktion * Nullstellen einer gemischten ln-Funktion * ln(g(x))-Funktion mit der Kettenregel ableiten * ln(g(x))-Funktion ableiten, wenn g(x) eine gebrochen-rationale Funktion ist * Stammfunktion einer gebrochen-rationalen Funktion bilden (logarithmische Integration). Auf den folgenden Seiten finden Sie Beispielaufgaben zum Online-Kurs "ln-Funktion" bei unterricht.de. KOSTENLOSER ONLINE-KURS. JETZT ONLINE ÜBEN. Dieses Material darf im Unterricht verwendet werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(2) Frage Man soll die Ableitung von f (x ) = ln. x3 − x x +1. bestimmen.. In welchem L¨ osungsschritt wird hier falsch gerechnet?. 1. Schritt: Ableitung der ln-Funktion f ’ (x ) =. x +1 ... x3 − x. 2. Schritt: Nachdifferenzieren x +1 f ’ (x ) = 3 · x −x. . x3 − x x +1. ’. 3. Schritt: Quotientenregel f ’ (x ) =. x + 1 2x 3 + 3x 2 + 2x − 1 · x3 − x (x + 1)2. 4. Schritt: Zusammenfassen f ’ (x ) =. 2x 3 + 3x 2 + 2x − 1 x4 + x3 − x2 − x. Antwortm¨ oglichkeiten A:. Der Fehler ist im 4. Schritt.. B:. Der Fehler ist im 3. Schritt.. C:. Der Fehler ist im 2. Schritt.. D:. Der Fehler ist im 1. Schritt.. c unterricht.de | support-id: 18287. Seite 1. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(3) Kurs: ln-Funktion. L¨ osung Die Ableitung von lnx ist (lnx ) ’ =. 1 . x. 1 x. Die Ableitung von ln (g (x )) ist gleich. 1 · g ’ (x ) g (x ). (Eins durch das Argument und dann nachdifferenzieren). Tipp: Anstatt bei Br¨ uchen zu dividieren, multipliziert man mit dem Kehrbruch! g ’ (x ) bestimmen (Quotientenregel): (3x 2 − 1) · (x + 1) − (x 3 − x ) · 1 (x + 1)2 3x 3 + 3x 2 − x − 1 − x 3 + x g ’ (x ) = x2 2x 3 + 3x 2 − 1 g ’ (x ) = (x + 1)2. g ’ (x ) =. x 3 − x 2x 3 + 3x 2 − 1 · x +1 (x + 1)2 2x 3 + 3x 2 − 1 f ’ (x ) = 4 x + x3 − x2 − x. f ’ (x ) =. c unterricht.de | support-id: 18287. Seite 2. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(4) Frage Bestimme die Ableitung der Funktion x +2 f (x ) = ln . x −3. Antwortmo ¨glichkeiten A: B:. −5 (x − 3)2 x −3 f ’ (x ) = x +2 f ’ (x ) =. −5 x2 − x − 6. C:. f ’ (x ) =. D:. f ’ (x ) = −. 3 2. L¨ osung Die Ableitung von lnx ist (lnx ) ’ =. 1 . x. 1 x. Die Ableitung von ln (g (x )) ist gleich. 1 · g ’ (x ) g (x ). (Eins durch das Argument und dann nachdifferenzieren). Tipp: Anstatt bei Br¨ uchen zu dividieren, multipliziert man mit dem Kehrbruch! g ’ (x ) bestimmen (Quotientenregel): g ’ (x ) =. 1 · (x − 3) − (x + 2) · 1 −5 = 2 (x − 3) (x − 3)2. f ’ (x ) =. x −3 −5 −5 −5 · = = 2 2 x + 2 (x − 3) (x + 2) · (x − 3) x −x −6. c unterricht.de | support-id: 18280. Seite 1. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(5) Frage Bestimme die Ableitung der Funktion f (x ) = ln(12x + 9) .. Antwortm¨ oglichkeiten A:. f ’ (x ) =. 1 12x + 9. B:. f ’ (x ) =. lnx 12x + 9. C:. f ’ (x ) =. 12 12x + 9. D:. f ’ (x ) =. 1 12. Lo ¨sung 1 Die Ableitung von lnx ist . x 1 (lnx ) ’ = x Die Ableitung von ln (g (x )) ist gleich. 1 · g ’ (x ) g (x ). (Eins durch das Argument und dann nachdifferenzieren). f ’ (x ) =. 1 · 12 12x + 9. c unterricht.de | support-id: 18019. Seite 1. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(6) Frage Wie lautet der Definitionsbereich der Funktion f (x ) = ln(−x + 1) ?. Antwortm¨ oglichkeiten A:. D f =] − ∞; −1[∪]1; ∞[. B:. D f = [−∞; 1]. C:. D f = R+. D:. D f =] − ∞; 1[. Lo ¨sung Der Definitionsbereich der ln x-Funktion ist R+ , d .h . es d¨ urfen nur positive Zahlen in den ln eingesetzt werden. Argument der ln -Funktion bestimmen: f (x ) = ln(−x + 1) ⇒ Argument: −x + 1 Argument gr¨ oßer Null setzen (da ja im Argument des ln nur positive Zahlen stehen d¨ urfen): −x + 1 > 0 Ungleichung l¨ osen: −x > −1. (Ungleichung mit −1 multiplizieren und Realtionszeichen umdrehen). x <1 −x + 1 hat f¨ ur ] − ∞; 1[ positive Funktionswerte Damit gilt f¨ ur den Definitionsbereich der Funktion f : D f =] − ∞; 1[. c unterricht.de | support-id: 17996. Seite 1. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(7) Frage Wie lautet der Definitionsbereich der Funktion f (x ) = ln (g (x ))? Es ist der Graph von g gegeben.. Antwortm¨ oglichkeiten A:. D f =] − ∞; −4[∪] − 1; ∞[. B:. D f =] − 4; −1[. C:. D f =] − ∞; −4] ∪ [−1; ∞[. D:. D f = [−4; −1]. E:. D f = R+. Lo ¨sung Der Definitionsbereich der lnx -Funktion ist R+ , d .h . es d¨ urfen nur positive Zahlen f¨ ur x eingesetzt werden.. c unterricht.de | support-id: 18684. Seite 1. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(8) Kurs: ln-Funktion Wo hat die Funktion g (x ) positive Funktionswerte? Am Bild erkennt man: g (x ) > 0 f¨ ur x ∈] − 4; −1[ (wo verläuft der Graph oberhalb der x-Achse) ⇒ D f =] − 4; −1[. c unterricht.de | support-id: 18684. Seite 2. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(9) Frage Eigenschaften der lnx -Funktion. Welche der Antwortm¨ oglichkeiten ist falsch?. Antwortm¨ oglichkeiten A:. D f = R+. B:. Der Graph von lnx ist streng monoton fallend.. C:. ln1 = 0. D:. (lnx ) ’ =. 1 x. L¨ osung Das ist der Graph der ln x-Funktion:. c unterricht.de | support-id: 8920. Seite 1. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(10) Kurs: ln-Funktion Der Graph von lnx ist streng monoton steigend. D f = R+ ln1 = 0 (lnx ) ’ =. 1 x. c unterricht.de | support-id: 8920. Seite 2. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(11) Frage Wo hat die Funktion f (x ) = ln(−x + 7) Nullstellen? Ermittle die Nullstellen durch Rechnung.. Antwortm¨ oglichkeiten A:. x 1 = 1 und x 2 = −1. B:. x 1 = 7 und x 2 = −7. C:. x =6. D:. x = −8. Lo ¨sung Die ln x-Funktion ist f¨ ur x = 1 Null. Kurz: ln (1) = 0. Argument der ln -Funktion bestimmen: f (x ) = ln(−x + 7) ⇒ Argument: −x + 7 Argument gleich Eins setzen (da der ln f¨ ur x = 1 Null ist): −x + 7 = 1 Gleichung lösen: −x = −6 x =6. c unterricht.de | support-id: 18007. Seite 1. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(12) Frage Bestimme alle Nullstellen der Funktion f (x ) = (x − 2) · ln(1 − x 2 ). mit D f =] − 1; 1[.. Antwortm¨ oglichkeiten A:. x =2. B:. x 1 = 0, x 2 = 2. C:. x 1 = −1, x 2 = 1. D:. x =0. E:. x 1 = −1, x 2 = 1, x 3 = 2. L¨ osung Ansatz: f (x ) = 0 (x − 2) · ln(1 − x 2 ) = 0 Tipp: hier jeden Faktor einzeln Null setzen. Achte dabei auf den Definitionsbereich der Funktion! x −2=0 ⇒ x1 = 2. c unterricht.de | support-id: 18737. Seite 1. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(13) Kurs: ln-Funktion ln(1 − x 2 ) = 0 e x auf beiden Seiten der Gleichung anwenden: 1 − x2 = 1 x2 = 0 ⇒ x2 = 0 2 liegt nicht im Definitionsbereich D f und ist somit keine Nullstelle von f .. ⇒ x = 0 ist die gesuchte Nullstelle. c unterricht.de | support-id: 18737. Seite 2. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(14) Frage Bilde eine Stammfunktion F von der Funktion f (x ) =. 5 . 5x + 7. Antwortmo ¨glichkeiten A:. F (x ) = ln|5x + 7| . 5 5x + 7. . B:. F (x ) = ln. C:. F (x ) = 5ln(5x + 7). D:. F (x ) = ln |5x |. L¨ osung [ln (g (x ))]’ =. g ’ (x ) g (x ). Kettenregel: Mit g ’ (x ) nachdifferenzieren. g ’ (x ) : Umgekehrt ist damit ln |g (x )| Stammfunktion von g (x ) Z g ’ (x ) d x = ln |g (x )| + C g (x ) Die Menge aller Stammfunktionen lautet dann: Z 5 d x = ln|5x + 7| + C 5x + 7. c unterricht.de | support-id: 18290. Seite 1. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(15) Frage Bilde eine Stammfunktion F von der Funktion f (x ) =. −4 . 6x − 1. Antwortmo ¨glichkeiten A:. F (x ) = −4ln|6x − 1|. B:.

(16)

(17) 1

(18)

(19) −4

(20)

(21) F (x ) = − ln

(22) 4 6x − 1

(23). C:. 2 F (x ) = − ln|6x − 1| 3. D:. 4 F (x ) = ln(6x − 1) 6. L¨ osung [ln (g (x ))]’ =. g ’ (x ) g (x ). Kettenregel: Mit g ’ (x ) nachdifferenzieren. g ’ (x ) Umgekehrt ist damit ln |g (x )| Stammfunktion von : g (x ) Z g ’ (x ) d x = ln |g (x )| + C g (x ) Z. 6 d x = ln|6x − 1| + C 6x − 1. 4 Die Ableitung der Nennerfunktion unterscheidet sich von der Zählerfunktion um den Faktor − 6 2 bzw. − . 3 Z Z Z −4 4 6 2 6 dx = − dx = − dx 6x − 1 6 6x − 1 3 6x − 1. c unterricht.de | support-id: 18682. Seite 1. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(24) Kurs: ln-Funktion Die Menge aller Stammfunktionen lautet dann: Z Z 2 6 2 −4 dx = − d x = − ln|6x − 1| + C 6x − 1 3 6x − 1 3. c unterricht.de | support-id: 18682. Seite 2. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org).

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