e-Funktion ableiten - Kurvendiskussion - Übungsaufgaben

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(1)BEISPIELAUFGABEN ZUM ONLINE-KURS MATHEMATIK-ÜBUNGEN - E-FUNKTION Dieser Kurs beinhaltet: * Eigenschaften der e-Funktion * e-Funktion ableiten (Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel) * Grenzwerte gebrochener e-Funktionen bestimmen * Logarithmische Gleichungen lösen * Exponentialgleichungen lösen * Nullstellen einer gemischten e-Funktion berechnen. Auf den folgenden Seiten finden Sie Beispielaufgaben zum Online-Kurs "e-Funktion" bei unterricht.de. KOSTENLOSER ONLINE-KURS. JETZT ONLINE ÜBEN. Dieses Material darf im Unterricht verwendet werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(2) Frage Bestimme die Ableitung der Funktion f (x ) = e 1−7x .. Antwortm¨ oglichkeiten A:. f ’ (x ) = 1 − 7x. B:. f ’ (x ) = (1 − 7x ) · e 1−7x. C:. f ’ (x ) = −7 · e 1−7x. D:. f ’ (x ) = e 1−7x. L¨ osung Die Kettenregel f¨ ur das Ableiten lautet: f (x ) = h (g (x )) f ’ (x ) = h ’ (g (x )) · g ’ (x ) Die Ableitung von f (x ) = e x ist f ’ (x ) = e x (das gilt nur f¨ ur die e-Funktion). f (x ) = e 1−7x Hier ist h (x ) = e x und g (x ) = 1 − 7x . g ’ (x ) = −7 f ’ (x ) = −7 · e 1−7x. c unterricht.de | support-id: 17259. Seite 1. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(3) Frage Bestimme die Ableitung der Funktion f (x ) = (x 3 − x ) · e x .. Antwortm¨ oglichkeiten A:. f ’ (x ) = (−x 3 + 3x 2 + x − 1) · e x. B:. f ’ (x ) = (x 3 − x ) · e x. C:. f ’ (x ) = (3x 2 − 1) · e x. D:. f ’ (x ) = (x 3 + 3x 2 − x − 1) · e x. L¨ osung Die Produktregel f¨ ur das Ableiten lautet: f (x ) = u (x ) · v (x ) f ’ (x ) = u ’ (x ) · v (x ) + u (x ) · v ’ (x ) Hier ist u (x ) = (x 3 − x ) und v (x ) = e x Damit folgt: u ’ (x ) = 3x 2 − 1 v ’ (x ) = e x Einsetzen in die Formel f¨ ur die Produktregel: f ’ (x ) = (3x 2 − 1) · e x + (x 3 − x ) · e x. c unterricht.de | support-id: 17558. Seite 1. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(4) Kurs: e-Funktion Auflösen und Vereinfachen: f ’ (x ) = 3x 2 e x − e x + x 3 e x − x e x f ’ (x ) = (x 3 + 3x 2 − x − 1) · e x. c unterricht.de | support-id: 17558. Seite 2. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(5) Frage Bestimme die Ableitung der Funktion f (x ) =. 4e x + 2e −x . e x − 3e −x. Antwortm¨ oglichkeiten A:. f ’ (x ) =. B:. f ’ (x ) =. C:. f ’ (x ) =. D:. ex. −20 − 3e −x. 8e 2x − 20 (e x − 3e −x )2. 8e 2x + 12e −2x (e x − 3e −x )2 −28 f ’ (x ) = (e x − 3e −x )2. L¨ osung Die Quotientenregel f¨ ur das Ableiten lautet: u (x ) v (x ) u ’ (x ) · v (x ) − u (x ) · v ’ (x ) f ’ (x ) = (v (x ))2. f (x ) =. Hier ist u (x ) = 4e x + 2e −x und v (x ) = e x − 3e −x . Damit folgt: u ’ (x ) = 4e x + (−1) · 2 · e −x = 4e x − 2e −x v ’ (x ) = e x − (−1) · 3 · e −x = e x + 3e −x Einsetzen in die Formel f¨ ur die Quotientenregel: f ’ (x ) =. (4e x − 2e −x ) · (e x − 3e −x ) − (4e x + 2e −x ) · (e x + 3e −x ) (e x − 3e −x )2. c unterricht.de | support-id: 17264. Seite 1. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(6) Kurs: e-Funktion Auflösen und Vereinfachen: (Zur Erinnerung: e −x =. 1 und somit ist e x · e −x = 1) ex. 4e 2x − 12 − 2 + 6e −2x − 4e 2x − 12 − 2 − 6e −2x (e x − 3e −x )2 −28 f ’ (x ) = x (e − 3e −x )2 f ’ (x ) =. c unterricht.de | support-id: 17264. Seite 2. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(7) Frage Eigenschaften der e -Funktion. Welche der Antwortm¨ oglichkeiten ist falsch?. Antwortm¨ oglichkeiten A:. Df = R. B:. Der Graph von e x ist streng monoton steigend.. C:. e x schneidet die x-Achse bei (0|1). D:. e0 = 1. L¨ osung Das ist der Graph der e x -Funktion:. c unterricht.de | support-id: 9078. Seite 1. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(8) Kurs: e-Funktion e x schneidet nicht die x-Achse bei (0|1) , da e x keine Nullstellen hat. (Der Graph von e x schneidet dort die y-Achse.) Df = R e0 = 1 Der Graph von e x ist streng monoton steigend.. c unterricht.de | support-id: 9078. Seite 2. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(9) Frage Löse folgende Gleichung:. 3e x. 2 +x −6. =3. Antwortm¨ oglichkeiten A:. x 1 = 2, x 2 = −3. B:. x 1 = 3 ; x 2 = −2. C:. x = ln (6). D:. x1 =. √. √ 3 ; x2 = − 3. L¨ osung Den Term mit e“ alleine stellen. ” Hier: e x. 2 +x −6. =1. ln (x ) auf beiden Seiten der Gleichung anwenden. Diesen Zwischenschritt muss man nicht hinschreiben. Er dient nur deinem Verständnis: 2 ln e x +x −6 = ln (1) x2 + x − 6 = 0 (da sich die e-Funktion und die ln-Funktion gegenseitig aufheben) Die quadratische Gleichung ganz gew¨ ohnlich auflösen. Hier mit der Mitternachtsformel. √ −1 ± 1 + 24 x 1,2 = 2 x 1 = 2, x 2 = −3. c unterricht.de | support-id: 17569. Seite 1. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(10) Frage −e x + 5e −x soll bestimmt werden. x →∞ 4e x − 7e −x. Der Grenzwert lim. Wie sollte der erste Schritt zur Bestimmung lauten?. Antwortm¨ oglichkeiten A:. Man kann die e x -Terme einfach weglassen: −e x + 5e −x −1 + 5 4 = =− x −x x →∞ 4e − 7e 4−7 3 lim. B:. Bruch aufteilen: −e x + 5e −x −e x 5e −x = lim + x →∞ 4e x − 7e −x x →∞ 4e x − 7e −x 4e x − 7e −x lim. C:. Bruch mit e −x erweitern: −e x + 5e −x −1 + 5e −2x = lim x →∞ 4e x − 7e −x x →∞ 4 − 7e −2x lim. D:. Bruch mit e x erweitern: −e 2x + 5 −e x + 5e −x = lim x →∞ 4e 2x − 7 x →∞ 4e x − 7e −x lim. L¨ osung. c unterricht.de | support-id: 17562. Seite 1. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(11) Kurs: e-Funktion Das ist der Graph der e-Funktion.. An ihm lassen sich die Standard-Grenzwerte der e-Funktion leicht ablesen: lim e x = ∞ (da der Graph f¨ ur große positive x-Werte nach oben“ zeigt) ”. x →∞. lim e x = 0. x →−∞. (da sich der Graph f¨ ur große negative x-Werte der x-Achse immer mehr an-. nähert) Das ist der Graph der Funktion g (x ) = e −x .. An ihm lassen sich die Standard-Grenzwerte der e-Funktion leicht ablesen: lim e −x = 0. x →∞. (da sich der Graph f¨ ur große positive x-Werte der x-Achse immer mehr ann¨ a-. hert) lim e −x = ∞ (da der Graph f¨ ur große negative x-Werte nach oben“ zeigt) ”. x →−∞. c unterricht.de | support-id: 17562. Seite 2. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(12) Kurs: e-Funktion Zählerfunktion und Nennerfunktion getrennt betrachten: lim − e x + 5e −x = −∞. x →∞. lim 4e x − 7e −x = ∞. x →∞. Zwischenergebnis:. −∞ −e x + 5e −x = x →∞ 4e x − 7e −x ∞ lim. Vorsicht! Dieses Ergebnis ist nicht g¨ ultig, da nicht aussagekräftig! Man muss Zähler und Nenner durch e x teilen: −x. −1 + 5 ee x −e x + 5e −x lim = lim x →∞ 4e x − 7e −x x →∞ 4 − 7 e −x ex 1 Oder anders geschrieben: ( x = e −x ) e x −x −1 + 5e −2x −e + 5e lim = lim x →∞ 4e x − 7e −x x →∞ 4 − 7e −2x Zählerfunktion und Nennerfunktion getrennt betrachten: lim − 1 + 5e −2x = −1. x →∞. lim 4 − 7e −2x = 4. x →∞. −e x + 5e −x −1 + 5e −2x 1 = lim =− x →∞ 4e x − 7e −x x →∞ 4 − 7e −2x 4 lim. c unterricht.de | support-id: 17562. Seite 3. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(13) Frage 1 Löse folgende Gleichung: ln( x 2 − 1) = 0 2. Antwortm¨ oglichkeiten A:. x =1. B:. x =0. C:. x 1,2 = ±2. D:. √ x 1,2 = ± 2. L¨ osung e x auf beiden Seiten der Gleichung anwenden. Diesen Zwischenschritt muss man nicht hinschreiben. Er dient nur deinem Verständnis: 1. e ln( 2 x. 2 −1). = e0. 1 2 x −1=1 2 (da sich die e-Funktion und die ln-Funktion gegenseitig aufheben) 1 2 x =2 2 x2 = 4 x 1,2 = ±2. c unterricht.de | support-id: 17565. Seite 1. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(14) Frage Bestimme alle Nullstellen der Funktion f (x ) = (3 − e x ) · (2x 3 − 4, 5x ). Antwortm¨ oglichkeiten A:. x 1 = 0, x 2 = 1, 5, x 3 = −1, 5, x 4 = ln3. B:. x 1 = 1, 5, x 2 = 0, x 3 = lne 3. C:. x 1 = 0, x 2 =. D: E:. p p 1, 5, x 3 = − 1, 5. 1 x 1 = 0, x 2 = 1, 5, x 3 = −1, 5, x 4 = ln 3 p p x 1 = 0, x 2 = 4, 5, x 3 = − 4, 5, x 4 = 3. Lo ¨sung Ansatz: f (x ) = 0 (3 − e x ) · (2x 3 − 4, 5x ) = 0 Tipp: hier jeden Faktor einzeln Null setzen. 2x 3 − 4, 5x = 0 2x (x 2 − 2, 25) = 0 ⇒ x1 = 0 x 2 − 2, 25 = 0 x 2 = 2, 25 ⇒ x 2,3 = ±1, 5. c unterricht.de | support-id: 10492. Seite 1. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de.

(15) Kurs: e-Funktion 3 − ex = 0 ex = 3 lnx auf beiden Seiten der Gleichung anwenden: x 4 = ln3. c unterricht.de | support-id: 10492. Seite 2. Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨ offentlicht werden.. unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org).

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