Flächenberechnung und bestimmtes Integral - Übungen

(1)

MATHEMATIK-ÜBUNGEN - FLÄCHENBERECHNUNG UND BESTIMMTES INTEGRAL

Dieser Kurs beinhaltet:

* Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse berechnen (ohne Nullstellen im Integrationsbereich)

* Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse berechnen (mit Nullstellen im Integrationsbereich)

* Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion, den Koordinatenachsen und einer Geraden berechnen

* Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen berechnen

* Bestimmtes Integral berechnen

Auf den folgenden Seiten finden Sie Beispielaufgaben zum Online-Kurs "Flächenberechnung und bestimmtes Integral" bei unterricht.de

KOSTENLOSER ONLINE-KURS JETZT ONLINE ÜBEN

(2)

Welche Skizze beweist folgende Aussage:

Z 3

−3

(x³−9x)dx = 0

Antwortm¨ oglichkeiten

A:

B:

C:

D:

c unterricht.de|support-id: 10395

Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨offentlicht werden.

Seite 1

unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de

(3)

E:

L¨ osung

Z 0

−3

(x³−9x)dx = [1 4x⁴−9

2x²]

0

−3= 0−81 4 +81

2 = 81 4 Z 3

0

(x³−9x)dx = [1 4x⁴−9

2x²]

3 0

= 81 4 −81

2 −0 =−81 4

Die Fl¨ache die der Graph der Funktionx³−9x mit derx -Achse zwischen−3 und 0 einschließt ist gleich groß wie die Fl¨ache, die zwischen 0 und 3 eingeschlossen wird.

Da letztere Fl¨ache unterhalb der x -Achse liegt, ist das Vorzeichen des Integrals negativ.

Die Summe der beiden Integrale ist gleich Null.

(4)

Gegeben ist die Funktion f (x) =−1 2x −1.

Bestimme den Inhalt des Fl¨achenst¨ucks, das der Graph Gf, die Koordinatenachsen und die Gerade mit der Gleichungx = 2 einschließen.

Antwortm¨ oglichkeiten

A: A =

Z 2 0

(−1

2x −1) dx =−3

B: A =

Z 2

−2

(−1

2x −1) dx =−4

C: A =

Z 0

−2

(−1

2x −1) dx

= 1

D: A =

Z 2

−2

(−1

2x −1) dx

= 4

E: A =

Z 2 0

(−1

2x −1) dx

= 3

L¨ osung

Nullstelle: 0 =−1

2x −1 ⇒ x^N =−2

Seite 1

(5)

Die Integrationsgrenzen sind 0 und 2.

A =

Z 2 0

(−1

2x −1) dx

=

[−1

4x²−x]

2 0

=|(−1−2)−0|= 3

(6)

Bestimme die Fl¨ache A , die der Graph der Funktion f (x) =−x³+x²+ 6x mit der x-Achse ein- schließt.

Antwortm¨ oglichkeiten

A: A = 15,75 B: A ≈10,42 C: A = 31,25 D: A ≈21,08 E: A = 64,75

L¨ osung

Seite 1

(7)

Nullstellen vonf (x) :

−x³+x²+ 6x = 0 ⇐⇒ −x ·(x²−x −6) = 0

⇒ x1 = 0 x²−x −6 = 0 x_2,3 = 1±√

1 + 24 2

⇒ x2 =−2 und x3 = 3

0,−2 und 3 sind die Integrationsgrenzen.

Bestimmtes Integral ausrechnen:

Z 0

−2

(−x³+x²+ 6x) dx

+ Z 3

0

(−x³+x²+ 6x) dx

Das bestimmte Integral Z 3

0

(−x³+x²+ 6x) dx entspricht der Fl¨ache, die der Graph mit der x-Achse zwischen 0 und 3 einschließt.

Das bestimmte Integral

Z 0

−2

(−x³+x²+ 6x) dx

entspricht der Fl¨ache, die der Graph mit der x-Achse zwischen−2 und 0 einschließt.

(da die Fl¨ache unterhalb der x-Achse liegt, hat das bestimmte Integral einen negativen Wert und wird deswegen bei der Fl¨achenberechnung im Betrag genommen)

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt:

IstF eine Stammfunktion von f , dann istF’ =f und es gilt:

Z b

a

f (x) dx = [F (x)]^b_a =F (b)−F (a)

A =

Z 0

−2

(−x³+x²+ 6x) dx

+ Z 3

0

(−x³+x²+ 6x) dx

=

[−1 4x⁴+1

3x³+ 3x²]

0

−2

+ [−1 4x⁴+1

3x³+ 3x²]

3 0

=|(0 + 0 + 0)−(−4−8

3 + 12)|+ [(−81

4 + 9 + 27)−(0 + 0 + 0)]

= 16 3 +63

4

≈21,08

(8)

Bestimme die Fl¨acheA , die der Graph der Funktionf (x) = 3 4x²−3

4 mit der x-Achse einschließt.

Antwortm¨ oglichkeiten

A: A = 3

B: A =−1

C: A = 1

D: A = 2

E: A =−2

L¨ osung

Seite 1

(9)

Nullstellen vonf (x) bestimmen:

3 4x²−3

4 = 0 ⇐⇒ x² = 1

⇒ x₁ =−1 undx₂ = 1

−1 und 1 sind die Integrationsgrenzen.

Z 1

−1

(3 4x²−3

4) dx

Das bestimmte Integral entspricht der Fl¨ache, die der Graph mit der x-Achse einschließt.

(da die Fl¨ache unterhalb der x-Achse liegt, hat das bestimmte Integral einen negativen Wert und wird deswegen bei der Fl¨achenberechnung im Betrag genommen)

Ist F eine Stammfunktion von f , dann ist F’ =f und es gilt:

Z b

a

f (x) dx = [F (x)]^b_a =F (b)−F (a)

A =

Z 1

−1

(3 4x²−3

4) dx

=

[1 4x³−3

4x]

1

−1

=|(1 4− 3

4)−(−1 4+ 3

4)|

= 1

(10)

Bestimme die Fl¨acheA zwischen den Graphen der Funktionenf(x) = 2x²+ 1 und g(x) =−3x

Antwortm¨ oglichkeiten

A: A = 1

24 B: A =−3

8 C: A ≈1,17

D: A = 3

8

E: A =−1

24

L¨ osung

Schnittpunkte bestimmen: f(x) =g(x) 2x²+ 1 =−3x

2x²+ 3x + 1 = 0 x_1,2 = −3±√

9−8 4

x1 =−1, x2 =−1 2

−1 und−1

2 sind die Integrationsgrenzen.

Seite 1

(11)

Die Fl¨ache zwischen den Graphen zweier Funktion f und g, die sich im Intervall ]a;b[ nicht schneiden, ist gegeben durch:

b

Z

a

[f(x)−g(x)] dx

−¹₂

Z

−1

2x²+ 3x + 1 dx

Das bestimmte Integral

−¹₂

Z

−1

2x²+ 3x + 1 dx

entspricht der Fl¨ache, die f und g zwischen

−1 und−1

2 einschließen.

IstF eine Stammfunktion vonf, dann istF⁰ =f und es gilt:

b

Z

a

f(x) dx = [F(x)]^b_a =F(b)−F(a)

A =

−¹₂

Z

−1

2x²+ 3x + 1 dx

A =

[2 3x³+3

2x²+x]

−¹₂

−1

A =

−1 12 +3

8 −1 2

−

−2 3 +3

2 −1

A = 1 24