7. Übung zur Statistik für Informatiker Teil A

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Prof. Dr. Heinz-Willi Goelden, Fachbereich IM, FH Regensburg

7. Übung zur Statistik für Informatiker Teil A

1. n voneinander unabhängige Jobs werden zur Bearbeitung in einem Parallelrechner auf n freie Knoten verteilt, wobei die Bearbeitungszeit T_i von Job i als λ_i- exponentialverteilt angenommen wird.

a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion der gesamten Bearbeitungszeit }

T ..., , T max{

X= ₁ _n , wenn die Bearbeitung beendet wird, sobald alle Jobs vollständig bearbeitet wurden.

b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion der gesamten Bearbeitungszeit }

T ..., , T min{

Y= ₁ _n , wenn die Bearbeitung beendet wird, sobald ein Job vollständig bearbeitet wurde (s.g. Wettbewerbsparallelität).

c) Wie groß ist die mittlere Bearbeitungszeit E[Y]? Interpretieren Sie das Ergebnis für den Spezialfall λ₁=λ₂=...=λ_n.

d) Wie groß ist die mittlere Bearbeitungszeit E[X] im Spezialfall λ₁=λ₂=...=λ_n? Hinweis: Verwenden Sie die Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung.

e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Gesamtzeit X bzw. Y i) zwischen 15 und 25 [ms]

ii) unter 15 [ms]

iii) unter 10 [ms],

wenn 5 Jobs zur Bearbeitung anstehen, und die mittlere Bearbeitungszeit pro Job auf 20 [ms] geschätzt wird?

2. T₁,...,T_n seien unabhängige, stetige Zufallsvariablen mit Verteilungsfunktion F_i und Dichte f_i (i=1,...,n).

a) Zeigen Sie, dass für 1≤ ,i j≤nmiti≠ j:

[

¹ ^F⁽^t⁾

]

^f ⁽^t⁾^dt

) T T (

P _i< _j = ^∞

∫

− _j ⋅ _i

∞

−

b) Bestimmen Sie für den Fall T_i ~Exp(λ_i) (i=1,...,n).

i) P(T_i<T_j)

ii) P(T₁<T₂,T₁<T₃,...,T₁<T_n).

(2)

Teil B

1. Wie oft muß man im Mittel mit einem Würfel würfeln, um jede Augenzahl einmal erhal- ten zu haben.

2. a) Ergänzen Sie in der folgenden Tabelle die Werte der Verteilung von (X, Y) bzw. der Randverteilung von X und Y unter der Annahme, dass X und Y unabhängig sind.

b) Bestimmen Sie E[X⋅Y]. c) Sind X und Y unkorreliert?

3. Die Zufallsvariablen V und D bezeichnen die Länge eines Diplomarbeitsvortrages und der anschließenden Diskussion, wobei

• E[V]=30[min], E[D]=15[min]

• Var[V]=16[min²], Var[D]=9[min²]

• ρ(V,D)=−0,5.

Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Gesamtdauer G=V+D. Y

X 1 2 3 p _i_,_•

-1 0,06

0 0,03

1 0,50

j

p_•, 0,30