Prof. Dr. Heinz-Willi Goelden, Fachbereich IM, FH Regensburg
1. Übung zur Statistik für Informatiker
Teil A
1. Es sei eine Messreihe x0,x1,...,xn gegeben mit x0,x1,...,xn >0. Die s.g. Zuwachsfak- toren κi sind definiert als
(i 1,2,...,n) x
: x κ
1 i
i = i =
−
Zeigen Sie, dass nur das geometrische Mittel
n n
1 i
κi
:
κ
∏
=
& =
eine Interpretation als mittlerer Zuwachsfaktor der Messreihe x0,x1,...,xn gestattet, das arithmetische oder harmonische Mittel dagegen nicht.
Beispiel:
In der nachfolgenden Tabelle sind die Anzahl der WWW-Zugriffe pro Monat auf ein HTML-Dokument angegeben:
2. Es sei eine Messreihe x1,x2,...,xn gegeben mit x1,x2,...,xn >0. Für ein beliebiges 0
c> sind die s.g. Raten ri definiert als
) n ..., , 2 , 1 i x (
: c r
i = i = Zeigen Sie, dass nur das harmonische Mittel
∑
== n
1 i ri
1 : n r&&
eine Interpretation als mittlere Rate der Messreihe x1,x2,...,xn gestattet, das arithmeti- sche oder geometrische Mittel dagegen nicht.
Beispiel:
In der nachfolgenden Tabelle sind dieZeiten angegeben, die benötigt wurden, um eine 10.000 Kbyte große Datei eines Servers in München per FTP zu übertragen:
Monat i xi κi
Mai 0 1000 - Juni 1 1050 1,05 Juli 2 1134 1,08 August 3 987 0,87
nach i Übertragungsdauer xi in [sec]
Übertragungsrate ri in [Kbyte/sec]
Erlangen 1 52 192,3
Karlsruhe 2 248 40,3
Regensburg 3 460 21,7
Teil B
1. Die Jahresproduktion eines für die Weiterverarbeitung bestimmten Zulieferteils (Grund- gesamtheit) ist hinsichtlich der Abweichungen der Länge vom Nennmaß zu untersuchen.
Dazu wird der Grundgesamtheit eine Stichprobe vom Umfang n=30 entnommen. Als Abweichungen (gemessen in µ ) der Länge vom Nennmaß erhält man die 30 Werte m
48 28 40 38 34 41 31 45 35 43 42 24 34 46 41 44 41 37 37 35 45 32 40 50 39 42 43 39 45 37
Stellen Sie die Messergebnisse in einem Histogramm dar, und zwar mit einer Klassenein- teilung [23, 27), [27, 31), ...[47,51).
2. Bei Rythmik-Untersuchungen sollten drei Testpersonen X, Y und Z einen vorgegebenen Takt halten. Die entsprechenden Messreihen vom Umfang 10 ergaben folgende Differen- zen zwischen dem gegebenen und dem jeweils geschlagenen Takt (in [ms]):
Testperson \ i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X (xi) -30 -29 -28 -31 -30 -31 -27 -29 -30 -32 Y (yi) -20 25 15 -18 0 -12 8 -14 -3 19 Z (zi) 2 -1 0 0 -1 0 -1 1 15 22
Berechnen Sie für alle drei Messreihen das Stichprobenmittel und die empirische Varianz und interpretieren Sie die Ergebnisse.
3. Berechnen Sie in Abhängigkeit des unbekannten Wertes u ∈ R für die folgende Messrei- he 4 1 u 3 5 2
a) das Stichprobenmittel x=x(u),
b) das 20%-gestutzte Mittel x20% =x20%(u), c) den Median x~=x~(u).
4. In einer Versuchsserie zur Prüfung der Bremsen von Fahrzeugen wurden die Momentan- geschwindigkeit (in km/h) zum Zeitpunkt des Bremsbeginns und der Bremsweg (in m) gemessen. Man erhielt folgende Messreihe (vi,si) (i=1,2,...,20):
(49.2, 30.8) (51.0, 33.9) (52.4, 35.3) (48.2, 29.9) (51.6, 34.6) (48.5, 30.6) (49.8, 31.4) (51.3, 33.8) (48.9, 31.2) (49.5, 32.1) (50.9, 32.8) (51.4, 34.1) (51.1, 33.3) (48.6, 30.4) (49.4, 31.4) (52.8, 35.7) (51.0, 34.6) (50.7, 33.1) (50.3, 32.3) (50.4, 32.9)
a) Stellen Sie die Messergebnisse sowohl als Punktwolke als auch in einer Kontingenz- tafel dar, und zwar mit der Klasseneinteilung (48, 49], ..., (52, 53] für das Merkmal Momentangeschwindigkeit und entsprechend beim Merkmal Bremsweg mit der Klas- seneinteilung (29, 30], ..., (35, 36].
b) Berechnen Sie die empirische Kovarianz und den empirischen Korrelationskoeffi- zienten.
c) Bestimmen und skizzieren Sie die Regressionsgerade.
