∑ ∑ ∑ ∑ ∏∏ ∏∏ Lösungen zur 7. Übung Statistik für Informatiker Teil A

Prof. Dr. Heinz-Willi Goelden, Fachbereich IM, FH Regensburg

Lösungen zur 7. Übung Statistik für Informatiker

Teil A

1. Bearbeitungszeit T_i ~Exp(λ_i) (i=1,2,...,n) a) X =max

{

}

"

x T ...

x T x T

"

"

x X

" ≤ ⇔ ₁≤ ∧ ₂ ≤ ∧ ∧ _n≤

∏ ∏

= =

− ≥

−

=

≤

=

≤

=

n

1 i

n

1 i

ix i

X(x) P(X x) P(T x) (1 e ) (x 0)

F ^λ

da die stoch. unabh. sind. T_i b) Y =min

{

}

"

y T ...

y T y T

"

"

y Y

" > ⇔ ₁> ∧ ₂ > ∧ ∧ _n >

=

−

=

>

−

=

>

−

=

≤

=

∏ ∏

= =

n − 1 i

n

1 i

iy i

Y(y) P(Y y) 1 P(Y y) 1 P(T y) 1 e

F ^λ

, also .

0) (y ) y exp(

1

n

1 i

i ≥

−

−

∑

=

λ

∑

= n

1 i

i) (

Exp

~

Y λ

c) Mit

∑

=

= ⁿ

1 i

λi

λ gilt also: Y ~ Exp(λ ) und damit 1 . ] Y [

E ⁼ λ

Im Spezialfall

... _n n

2 1

λ λ λ

λ = = = = wird die mittlere Bearbeitungszeit bei voll- kommener Parallelisierung (d.h. jeder Job bekommt einen freien Knoten) um das n- fache geringer.

d) Teilaufgabe c) hat ergeben, dass im Mittel nach ( : ... ) n

1

n 2

1 λ λ

λ

λ λ ^{= = = =} Zeit-

einheiten der kürzeste Job bearbeitet ist. Wegen der Eigenschaft der Gedächtnislosig- keit liegt zu diesem Zeitpunkt wieder die Ausgangssituation vor, nun allerdings mit

Jobs. Folglich ist nach 1

n−

) 1 n (

1 λ

− Zeiteinheiten der nächste Job beendet, usw.

Also 1 (n 1)

i 1 1 ... 1

) 1 n (

1 n

] 1 X [ E

n

1 i

>

>

= +

− + +

=

∑

= λ

λ λ λ

λ

(beachte: E[X]→∞ ,E[Y]→0 (n→∞)) e) n=5 ,λ₁=λ₂ =...=λ₅ =₂₀¹

i) ⁵

20 5 15

20 X 25

X(25) F (15) (1 exp( )) (1 exp( )) F

) 25 X 15 (

P ≤ ≤ = − = − − − − −

=14,4%

)) 5 exp(

1 ( )) 5 exp(

1 ( ) 15 ( F ) 25 ( F ) 25 Y 15 (

P 20

15 20

Y 25

Y − = − − ⋅ − − − ⋅

=

≤

≤

% 16 ,

=2

ii) P(X 15) F (15) (1 exp( ))⁵ 4,1%

20

X = − −15 =

=

≤

% 6 , 97 ) 5 exp(

1 ) 15 ( F ) 15 Y (

P 20

Y = − − ⋅15 =

=

≤

iii) P(X 10) F (10) (1 exp( ))⁵ 0,94%

20

X = − −10 =

=

≤

% 8 , 91 ) 5 exp(

1 ) 10 ( F ) 10 Y (

P 20

Y = − − ⋅10 =

=

≤

2. a) Wegen der Unabhängigkeit von T_i und T_jgilt:

{ }

∫∫

∫∫

=

<

B

j i B

Tj Ti j

i T ) f (x ,y)dxdy f(x)f (y)dxdy mitB (x,y) |x y T

( P

∫

∫ ∫

∫ ∫

∞

−

∞

∞

− −∞

∞

∞

−

∞

−

=

−

=

= ( f (y)dy) f(x)dx f (x)(1 f (y)dy)dx f_i(x)(1 F_j(x))dx

x j i

x

i j

j) i n;

..., 2, 1, j , i

( = ≠

b) T_i ~ Exp(λ_i) (i=1,2,...,n)

i) ^{< =∞}

∫

∫

0 i j

x i j) ( i i jx

0 ix i j

i T ) e (1 e )dx e dx

T (

P λ λ

λ λ

λ ^{λ λ λ λ}

ii) λ

λ λ λ

λ ₁

n

2 i

i 1

n 1 3 2 1

n 1 3 1 2

1 T ,T T ,...,T T ) P(T min{T ,T ,...,T }) T

(

P =

+

=

<

=

<

<

<

∑

=