Lösungen zur 4. Übung Statistik für Informatiker Teil A

Prof. Dr. Heinz-Willi Goelden, Fachbereich IM, FH Regensburg

Lösungen zur 4. Übung Statistik für Informatiker Teil A

1. a) B_i „i-tes Bauteil b_i fällt aus“

„Gesamtsystem fällt aus“

AS

3) 2, 1, (i 1

) B ( P 1 ) B (

P _{i i i}

i = = − = −α =

ρ

I. II. III.

b1

b3

b2

) A (

P _S 0,953 0,958 0,968

I. P(A_S )=P(B₃∩(B₁∪B₂))=P(B₃)⋅P(B₁∪B₂)=P(B₃)⋅(1−P(B₁∩B₂))=

3 2 1 3 2 1 2

1 3

2 1

3)) (1 P(B ) P(B )) (1 ) (1 ) 1 B

( P 1

( − ⋅ − ⋅ = −ρ ⋅ −ρ ρ = −ρ ρ −ρ +ρ ρ ρ

3 2 1 3 2 1 S ) A (

P =ρ ρ +ρ −ρ ρ ρ II. P(A_S )=ρ₁ρ₃+ρ₂ −ρ₁ρ₂ρ₃ III. P(A_S )=ρ₂ρ₃+ρ₁−ρ₁ρ₂ρ₃ System III ist zu bevorzugen!

b) I. C_i „i-te Komponente fällt aus“ (i=1,2,...,n) „Gesamtsystem, bestehend aus 3n identischen Bauteilen, fällt aus“

AS

109 , 0 1 , 0 1 , 0 1 , 0 ) C (

P _i = ² − + ³ = nach a)

) C ( P ) C ( P ) C ( P ) C ...

C C ( P ) A (

P _S = ₁∩ ₂∩ _n = _{1 2} ⋅ ⋅⋅ _n

n n

2 1

S) 1 (1 P(C )) (1 P(C )) (1 P(C )) 1 0,891 A

(

P = − − ⋅ − ⋅ ⋅⋅ − = −

II. D_i „i-te Komponente , bestehend aus n identischen Bauteilen, fällt aus“ (i=1,2,3)

. . .

b3

b2

b1

b3

b2

b1

„Gesamtsystem, bestehend aus 3n identischen Bauteilen, fällt aus“

AS

n i) 0,9 D

(

P = P(D_i)=1−0,9ⁿ

3 n n

2 n

S) (1 0,9 ) (1 0,9 ) (1 0,9 ) A

(

P = − + − − −

Variante II weist für beliebiges n > 1 eine geringere Ausfallwahrscheinlichkeit auf!

2. a) P(S)=P("mindestenszweiBauteileexakt")=

= +P("genau dreiBauteileexakt") )

exakt"

Bauteile zwei

genau P("

(Unabhängigkeit!) α α

α α α

α (1 ) 3 2 :p 2

3 _{2 3 2 3}

=

−

= +

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

b) 3 −2 > ⇔ 2 −3 + <0 ⇔ − + <0 ⇔ ( − ) < ⇔

16 2 1 4 3 2

1 2 2 3 2

3 3

2 α α α α α α α α

α

1

2

1 4

1 4

3 < ⇔ < <

− α

α

3. a) 0=ˆ O, 1=ˆ L

„i wird gesendet und j empfangen“

j) , i

( ^{(i ,j)}∈

{ }

{

}

Ω = , A=2^Ω

„i wird gesendet“

{

S_i =

}

„j wird empfangen“

{

E_j =

}

Das Wahrscheinlichkeitsmaß ^P:A→

[ ]

7 1 4 7

0) 3, P(S ) S

(

P = =

1 ) E ( P ) E (

P ₀ + ₁ =

und damit

3 , 0 ) S

| E (

P _{0 1} = P(E₁|S₁)=0,7 und damit

2 , 0 ) S

| E (

P _{1 0} = P(E₀|S₀)=0,8

b) P("Übertragungsfehler"=P((S₀∩E₁)∪(S₁∩E₀))=

% 71 , 25 ) P(S ) S

| E ( P ) P(S ) S

| E ( P ) E S ( P ) E S (

P ₀∩ ₁ + ₁∩ ₀ = _{1 0 0} + _{0 1 1} =

c) P(E₀)=P(E₀|S₀)P(S₀)+P(E₀|S₁)P(S₁)=51,43%

d) 33,3%

) P(S ) S

| E ( P ) P(S ) S

| E ( P

) P(S ) S

| E ( ) P

E

| S ( P

1 1 0 0

0 0

0 0 0 0

0 =

= +

% 4 , ) 82 P(S ) S

| E ( P ) P(S ) S

| E ( P

) P(S ) S

| E ( ) P

E

| S ( P

1 1 1 0

0 1

1 1 1 1

1 =

= +

E0

E₁ E₀

E1

S₀

S1

0,8

7 3

0,2

0,7

7 4

0,3