Prof. Dr. Heinz-Willi Goelden, Fachbereich IM, FH Regensburg
Lösungen zur 6. Übung Statistik für Informatiker Teil A
1. T ~ Exp(λ).
a) E[T]= λ1 =100[sec], alsoλ=0,01.
b) = =100
∫
− =100
tdt 0 e
) 100 T (
P λ λ
% 4 , 7 e
e e
dt e )
110 T 90 (
P 0,9 1,1
110
90
t 01 , 0 t
90
110= − =
=
=
≤
≤
∫
λ −λ − − −c) P(90≤T ≤110 |T ≥50)=P(T ≤110 |T ≥50)−P(T <90 |T ≥50)=
=
≥ +
>
−
=
≥
≥ +
−
≥
>
−P(T 110 |T 50) 1 P(T 90 |T 50) P(T 60) P(T 40) 1
% 5 , 12 e
e−0,4− −0,6 =
Beachte: X ~Exp(λ) ⇔ P(X >x+ y |X > y)=P(X > x) (x,y≥0)
2. X~N(0,1) mit Verteilungsfunktion Φ(t) und Dichte (t) exp( t22 ))
2
1 −
= π
ϕ .
) x ( 1 du ) u ( du ) u ( du
) u ( du ) u ( dt
) t ( )
x (
x
x
x x
Φ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
Φ − =
∫
=−∫
=∫
=∫
∞ −∫
= −∞
− −∞
∞
−
∞
− ∞
(x≥0)
3. a) X~N(µ,σ2).
(
− ≤ ≤)
= − − ==
≤
−
≤
−
=
≤
− | k ) P( k X k ) P k − k (k) ( k) X
| (
P µ σ σ µ σ Xσµ Φ Φ
1 ) k (
2Φ −
k Φ(k) 2Φ(k)-1 1 0,84135 0,6827 2 0,97725 0,9545 3 0,99865 0,9973 4 0,99997 0,9999
b) Tschebyscheff-Ungleichung mit c=kσ .
2 2 2
k 1 k
] X [ ) Var k
| X
| (
P − ≥ ≤ =
σ σ µ
P(|X −µ|≥kσ )=1−P(|X −µ|≤kσ )
) k
| - X
|
P( µ ≥ σ k
exakt Tschebyscheff 1 0,3173 ≤1
2 0,0455 ≤14=0,25 3 0,0027 ≤19=0,11 4 0,00006 ≤116 =0,0625
Die Tschebyscheff-Ungleichung liefert keine sehr gute Abschätzung!
