Prof. Dr. Heinz-Willi Goelden, Fachbereich IM, FH Regensburg
Lösungen zur 3. Übung Statistik für Informatiker Teil A
1. a) Ω =
{
0,1,2,3}
, wobei{
k}
das Ereignis beschreibt: „k Abteilungen arbeiten ohne Störung“2Ω
= A
Damit gilt:
{ }
3 ,B{ }
0 ,C{
1,2,3}
,D{ }
0,1 ,E{ }
1A= = = = =
b) Ω =
{
(x1 ,x2 ,x3) |x1 ,x2 ,x3∈{0,1}}
, wobei⎩⎨
=⎧
auftritt Störung
eine i Abteilung der
in falls 0
arbeitet Störung
ohne i Abteilung die
falls xi 1
2Ω
= A
Damit gilt:
{ } { }
{ }
{
(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,0)}
,E{
(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)D
, 1) 1, (1, 0), 1, (1, 1), 0, (1, 1), 1, (0, 0), 0, (1, 0), 1, (0, 1), 0, (0, C
, ,0) 0 (0, B , 1) 1, , 1 ( A
=
=
=
=
=
}
2. Ω =
{
{x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5} |{x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5}⊂ J}
mit{
a1 ,b1 ,c1 ,d1,a2,b2,c2,d2,e2, f2,a3,b3,c3,d3,e3, f3,g3,a4 ,b4 ,c4}
J = 2Ω
= A
a) A „genau dreiJobsderKlasse2“
% 74 , 11 5
20 2 14 3 6
P(A) A =
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⋅⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
=
= Ω
b) B „mindestens drei Jobs der Klasse 2“
U
i53 AiB
=
= mit Ai„genau i Jobs der Klasse 2“
% 13 , 13 5
20 i 5 14 i 6 )
A ( P ) A ( P ) A ( P ) B ( P
5
3 i 5 4
3 =
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
⋅ −
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
= +
+
=
∑
=
c) C „mindestens ein Job der Klasse 2“, d.h. C „kein Job der Klasse 2“
% 91 , 12 5
20 5 14 1 ) C ( P 1 ) C (
P =
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
−
=
−
=
d) D „nur Jobs der Klasse 3 und 4“
% 62 , 1 5 20 5 10 ) D (
P =
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
=
e) E „genau drei Jobs einer Klasse“
% 32 , 33 5
20
2 17 3 3 2
13 3 7 2 14 3 6 2
16 3 4 ) E (
P =
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⋅⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝ +⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⋅⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝ +⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⋅⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝ +⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⋅⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
=
f) F „höchstens zwei Jobs genau einer Klasse“
% 01 , 26
5 20
2 3 1 7 2 6 1 4 1 3 2 7 1 6 1 4 1 3 1 7 2 6 1 4 1 3 1 7 1 6 2 4
) F ( P
=
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⋅⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⋅⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⋅⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝ +⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⋅⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⋅⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⋅⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝ +⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⋅⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⋅⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⋅⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝ +⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⋅⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⋅⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⋅⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
=
3. Ω =
{
(x1 ,x2, ...,xn) |xi∈{1 ,2,...,365}}
a) Ist n≥366, so ist die gesuchte W’keit 1. Sei jetzt n≤365.
„mindestens zwei Studenten haben am selben Tag Geburtstag“
An
An „alle Studenten haben an verschiedenen Tagen Geburtstag“
365 ) 1 1 n
)...(
365 1 2 365)(
1 1 ( 1 365
! n n 365 1
) A ( P 1 ) A (
P n n n
− −
−
−
−
=
⎟⎟⋅
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
−
=
−
=
b) Ist n=1odern>366, so ist die gesuchte W’keit 0. Sei jetzt 2≤n≤366.
Bn „genau zwei Studenten haben am selben Tag und alle anderen an verschiedenen Tagen“
1 n n n
365 2
! 2 n n 364
365
)!
2 n 2 ( n 364 2
365 n ) B (
P −
⋅
⎟⎟⋅
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
= −
−
⎟⎟⋅
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
⋅ −
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⋅⎛
=
4. Ai „vollkommene Bearbeitung in Schritt i“ (i=1,2,3) 3
, 0 ) A (
P 1 = also P(A1)=0,7 7
, 0 ) A | A (
P 2 1 = also P(A2 |A1)=0,3 8
, 0 ) A A | A (
P 3 1∩ 2 = also P(A3 |A1∩A2)=0,2
042 , 0 ) A A | A ( P ) A | A ( P ) A ( P ) A | A A ( P ) A ( P ) A A A (
P 1∩ 2∩ 3 = 1 ⋅ 2∩ 3 1 = 1 ⋅ 2 1 ⋅ 3 1∩ 2 =
