Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Körpers zu jedem Zeitpunkt beschreiben.

(1)

R. Girwidz 11

1.0 Intention

Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Körpers zu jedem Zeitpunkt beschreiben.

y

x ) (t r 

ey

ex

ez

z

Ortsvektor: r  (t )

1 Kinematik 1 Kinematik

1.1 Eindimensionale, geradlinige Bewegung

Vereinfachend erfolgt zunächst die Betrachtung:

• von Massenpunkten

(ausgedehnte Körper später)

Eindimensionales Koordinatensystem:

0 x

₁

x

₂

x

Versuch:

Rotierende Dose mit Markierungspunkt Versuch:

Ball vor Tafel hochwerfen

• Im Stehen

• Im Gehen

(2)

R. Girwidz 33

1.1.1 Durchschnittsgeschwindigkeit / mittlere Geschwindigkeit

Geschwindigkeitsmessung:

Versuch: Eisenbahn - Positionsmarken setzen - Metronom für Zeittakt

0

x₁ x₂ x

x₁

(t

₁

)

x₂

(t

₂

)

1 2

t t

t x t x t t

x x t v x



 



 



  ( ) ( )

:

Mittlere Geschwindigkeit = Wegstrecke Zeitintervall

R. Girwidz 44

1 Kinematik 1 Kinematik

Daten aus dem Experiment in eine Wertetabelle aufnehmen:

x/m t / s

Grafische Darstellung im Zeit-Weg-Diagramm – x(t)-Diagramm

t _/s x _/m

v ^

2

v ^

1

(3)

R. Girwidz 55

Die Geschwindigkeit ist an der Steigung des Graphen im x(t)-Diagramm ablesbar.



 v

Ges

v v

2 1

t _/s x _/m

v ^

2

v ^

1

1 Kinematik 1 Kinematik

Weitere Möglichkeiten die Bewegungsabläufe zu registrieren

 Stroboskopaufnahme

 Film

 Markierungsstreifen

(4)

R. Girwidz 77

1.1.2 Die Momentangeschwindigkeit x

Rechnerisch: t

Graphisch:

Die Momentangeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt zeigt sich als die Steigung der Tangente an der x(t)-Kurve zu diesem Zeitpunkt.

t x t v x

t

d

lim d

0





 





R. Girwidz 8

1 Kinematik 1 Kinematik

Exkurs: Ableitung einer Potenzfunktion

Beispiel:

t

n

c t x ( )  

x

t

b x v

c t b t

x

ⁿ









 ) (

   

¹

) (

















n n

n

t c n t

dt c d t dt c

d dt

t

x

x  d

(5)

1 Kinematik 1 Kinematik

Aufgabe: Durchschnittsgeschwindigkeit

Ein Radfahrer fährt mit einer Geschwindigkeit von 15 km h

^-1

den Berg hinauf. Wie

schnell muss er dieselbe Strecke zurückfahren, um insgesamt die doppelte

Durchschnittsgeschwindigkeit, also 30 km h

^-1

, zu erreichen?

(6)

R. Girwidz 11

Aufgabe: Waldi

Förster Knalle und sein Dackel Waldi gehen nach der Pirsch zurück zum Forsthaus.

100 m vor dem Haus führt der Weg aus dem Wald heraus auf eine freie Wiese.

Waldi, der das Haus sieht, rennt vor bis zur Tür, dann jedoch, von Pflichtgefühl getrieben, zurück zu seinem Herrchen, wieder zur Tür und zurück usw., bis der Förster die Tür erreicht.

Wie weit ist Waldi insgesamt gelaufen, wenn er viermal so schnell läuft wie der Förster geht?

R. Girwidz 12

1 Kinematik 1 Kinematik Aufgabe: Flussreise

Ein Lastkahn fährt zwischen zwei Flusshäfen die 100 km auseinander liegen hin und her. Er benötigt flussaufwärts 10 Stunden, flussabwärts nur 4 Stunden.

Berechnen Sie die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses und die

Eigengeschwindigkeit des Bootes.

(7)

R. Girwidz 13

Aufgabe: Flussreise

Ein Lastkahn fährt zwischen zwei Flusshäfen die 100 km auseinander liegen hin und her. Er benötigt flussaufwärts 10 Stunden, flussabwärts nur 4 Stunden.

Berechnen Sie die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses und die Eigengeschwindigkeit des Bootes.

1 Kinematik 1 Kinematik

1.2.3 Die Beschleunigung (Maß für die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit) Mittlere Beschleunigung: (Geschwindigkeitsänderung / Zeitintervall)

x dt v

t dv dt v

d t a v

t

     



 





lim ( )

0

ct v a

ct x v

6 3

²





Beispiel:

Momentanbeschleunigung:

(8)

R. Girwidz 1515

Zusammenhänge zwischen x,v und a

Wie lässt sich von der Beschleunigung a auf die Geschw. v schließen?

• Schiefe Ebene

• beliebige Bewegung

dt a dv _

"Umkehrung" der Differentiation nötig.

Bekannt:

R. Girwidz 1616

1 Kinematik 1 Kinematik

Exkurs: Integration einer Potenzfunktion

Stammfunktion



 ( ) ; )

( x f x dx

F

Integrationskonstante

"enthält"

Anfangsbedingungen

n c u x

x x u

x x u x

F

n n

n

 

















1 d

d ) (

) (

1

(9)

R. Girwidz 1717

Bewegung mit konstanter Beschleunigung

v

0

t a v   

a

t v

t

t a v v

t a

dt a v

^t











 

0 0

*

konst a 

1 Kinematik 1 Kinematik

Bewegung mit konstanter Beschleunigung

t v at x

x 

₀



²



₀

 2

1

x

0 0

2

2 1 at v t x

x    

t v at vdt x

^t







 

0 2 0

*

2

1

(10)

R. Girwidz 1919

Fahrbahn

x₀ 4x₀ 9x₀

x-x₀ 10 40 90

∆t

v₀ 2v₀ 3v₀

t v s







R. Girwidz 2020

1 Kinematik 1 Kinematik

Zusammenhang zwischen v und x Einfacher Fall:

; 0

0 0



 v x

Allgemein:

(d.h. Start vom Ursprung) (d.h. Bewegung aus dem Stand)



 









2

2 1 at x

t a v

ax v

v

0²

2

 

2 2

2 1

; a

a v a x

t  v 

x

a

v

²

 2

(11)

R. Girwidz 21

Freier Fall:

1 Kinematik

Freier Fall:

(12)

R. Girwidz 23

Freier Fall:

R. Girwidz 24

1 Kinematik

Freier Fall:

(13)

R. Girwidz 25

Freier Fall:

1 Kinematik

Fallbewegung:

(14)

R. Girwidz 27

Freier Fall:

(15)

R. Girwidz 1

1.2 Bewegung in zwei und drei Dimensionen

1 Kinematik 1 Kinematik

1.2.1 Exkurs rechnen mit Vektoren (I) Schreibweise

Betrag / "Länge"



;

 





 













z y x z z y y x x

a a a e a e a e a

a   

2 2 2

z y

x a a

a a a

a









  

(16)

R. Girwidz 3

Addition

Multiplikation mit Skalar



;

 





 









 

 





 







 

 





 













z z

y y

x x

z y x

b a

b a b b b a a a b a c  



;

 





 















z y x

a x

a x a x c 

R. Girwidz 4

1 Kinematik 1 Kinematik

x, v, a sind gerichtete Größen

=> genauer

Beispiel: Senkrechter Wurf nach oben

; ,

, v a

x   

(17)

R. Girwidz 55

1.2.2 Kinematik mit Vektoren



^z

y z y x v

x

z y x t

dt e e dr dt e dr dt dr

r r r dt r d dt

d

dt r r d t v r

x



 

 





 







 









 

 





lim

0

Zerlegung in Komponenten - „einfach Komponenten differenzieren“

( ! nur im kart. Koordinatensystem ! )

1 Kinematik 1 Kinematik

Beschleunigung:



z z y

y x x

z z y y x a

x

dt e r e d

dt r e d

dt r d

dt e e dr dt e dr dt dr

r v a

x





 



2 2 2

2 2

2

 







(Zerlegung in Komponenten)

(18)

R. Girwidz 7

1.2.3 Superpositionsprinzip

Bewegungsabläufe lassen zusammengesetzt aus Teilbewegungen beschreiben

R. Girwidz 8

1 Kinematik 1 Kinematik

Superpositionsprinzip – Addition von Geschwindigkeiten

(19)

R. Girwidz 9

Superpositionsprinzip – Addition von Geschwindigkeiten

1 Kinematik 1 Kinematik

Superpositionsprinzip – der schiefe Wurf

(20)

R. Girwidz 11

Superpositionsprinzip – der schiefe Wurf

R. Girwidz 12

1 Kinematik 1 Kinematik

Superpositionsprinzip – der schiefe Wurf

Bahnkurve (Wurfparabel)

; 0 0



















 g

a^

(21)

R. Girwidz 13

; 0

0 0



















 v gt

v

v _y

 x

; 0 0



















 g

a^

1 Kinematik 1 Kinematik

; 0

0 0



















 v gt

v

v _y

 x

; 0 0



















 g

a^

1 2 ;

0





















 y

x gt t v

t v r

 x

(22)

R. Girwidz 1515

a) Bahnkurve

Der schiefe Wurf

R. Girwidz 1616

1 Kinematik 1 Kinematik

a) Bahnkurve (y(t)-Kurve)

n eliminiere

) 2

2 1

) 1

0

2

0y

t

t v x

gt t v y

x



 













(Wurfparabel)

2 0 2

0 0 0

2 1

1) in

x x

y x

v g x v

v x y v t x





0 2 2 0

2 0

2 2 0 0

0

cos 2

tan 1 ) (

2 ) 1

(

 

 









v g x x x

y

v x x g v x v y

x x

y

Der schiefe Wurf

(23)

R. Girwidz 1717

b) Steighöhe

Der schiefe Wurf

1 Kinematik 1 Kinematik

b) Steighöhe

0 2 2 0 2

0 2

2 0 2

0

2 0

max

0 0

!

2 sin 1 2

1 2

1 2 ) 1

(

0 0 ) (





























g v g v g

g v g v

t g t v t y y

g t v t

g v

t v

y y

s s

y s

y s s

y s y

Steigzeit

Der schiefe Wurf

(24)

R. Girwidz 1919

c) Wurfweite

Der schiefe Wurf

R. Girwidz 2020

1 Kinematik 1 Kinematik

c) Wurfweite

) ( ) 2 sin(

cos sin 2

2 )

2 (

0 0

2 0

0 0 2

0

0 0 0 0

0 0



 

W y x s W

g x v

g v

g v v

t x x











 







Wurfweite abh. von Abwurfgeschwindigkeit und Abwurfwinkel

Der schiefe Wurf

(25)

R. Girwidz 2121

d) Maximale Wurfweite

Der schiefe Wurf





 4 45

2 2

 

m m

1 Kinematik 1 Kinematik

d) Maximale Wurfweite

1 ) 2 sin(

: für

maximal

_m



x

W



Der schiefe Wurf

(26)

R. Girwidz 23

1.2.4 Kinematik der Kreisbewegung

Beispiele: Kurvenfahrt mit dem Auto, Volksfest, Erdbahn, Mondbahn

R. Girwidz 24

1.2.4 Kinematik der Kreisbewegung

Winkel

24

Gradeinteilung

b

r φ

r

 b

 [φ]: Radiant (rad)

Radius rad des Länge

s Kreisbogen des

Länge Bogenmaß

r

 b

(27)

R. Girwidz 2525



 



 



 







3 , 2 57

ˆ 360 Radiant 1

2 rad 1 : 360 Bogenmaßes des

Einheit

2 Bogenmaß) (in

360 Grad) (in

Bogenmaß im

2 n entspreche Gradmaß

im 360

2 : Kreises eines

Umfang











r b 1.2.4 Kinematik der Kreisbewegung

Winkel

1 Kinematik 1 Kinematik

Exkurs: Ebene Polarkoordinaten

(28)

R. Girwidz 27

1.2.4 Kinematik der Kreisbewegung

Beschreibung der Kreisbewegung in Polarkoordinaten

____

__________

);

(

; . t konst r



 



R. Girwidz 28

1 Kinematik 1 Kinematik

1.2.4 Kinematik der Kreisbewegung

Beschreibung der Kreisbewegung in Polarkoordinaten

; ) ( sin )

(

; ) ( cos )

(

____

__________

);

(

; .

t r

t y

t r

t x

t konst r











(29)

R. Girwidz 29

Kreisbewegung - Geschwindigkeit

1 Kinematik 1 Kinematik

Kreisbewegung – Geschwindigkeit:

t v r

t 

 



lim0





e t v r

konst r

t

 



 





lim0

.

(30)

R. Girwidz 31

Kreisbewegung – Geschwindigkeit:

t v r

t 

 



lim0











dt e r d

t e v r

konst r

t



 





 





 0

lim .

R. Girwidz 32

1 Kinematik 1 Kinematik

Kreisbewegung – Winkelgeschwindigkeit

– Definition:

– für konst:

– genauer: ist Vektor

; : dt



d

2 ; T t



 







(31)

R. Girwidz 33

Kreisbewegung

– Geschwindigkeit & Winkelgeschwindigkeit:

– Spezialfall: konst; v konst. :

; r v v  ^   

 

  ^;

cos

; sin

2 ;

0 0









 















t r

v

t r

v T

y x

1 Kinematik 1 Kinematik

Kreisbewegung - Beschleunigung

(32)

R. Girwidz 35

Kreisbewegung - Beschleunigung

t a v

t



 



 0

 lim

) ( lim

.

0 r

t e

t a v

konst r



 



 









Spezialfall gleichförmige Kreisbewegung:

R. Girwidz 36

1 Kinematik 1 Kinematik

Kreisbewegung - Beschleunigung

t a v

t



 



 0

 lim

) ( ) ( lim

) ( lim

.

0 0

r t r

t r

e v t e

v t e a v

konst r









 

 



 



 











 



(33)

R. Girwidz 37

Kreisbewegung - Beschleunigung

t a v

t



 



 0

 lim

) ( ) (

) ( )

( lim

) ( lim

.

2 2

0 0

r t r

t r

r e e v r

a

e v

t e v

t e a v

konst r



















 

 



 



 













 



1 Kinematik 1 Kinematik

Kreisbewegung - Beschleunigung

t a v

t



 



 0

 lim

) ( ) (

2 2

r t

r e

r e v r

a

    



 

 Spezialfall gleichförmige Kreisbewegung:

Radialbeschleunigung, Zentripedalbeschleunigung,

;

2 2

r r v

a

a^

    

^t

(34)

R. Girwidz 39

Allgemein

Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Körpers zu jedem Zeitpunkt beschreiben.

1.0 Intention