2 Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten (10)
In dieser Aufgabe sollen Sie die Geschwindigkeit und die Beschleunigung eines Weges in Polarkoordinaten berechnen. Ein wesentlicher Punkt dabei ist, dass Sie sich klar machen, wie Geschwindigkeit und Beschleunigung definiert sind und dass diese im Allgemeinen nicht so intuitiv zu berechnen sind, wie dies in kartesischen Koordinaten der Fall ist.
a) Betrachten Sie also einen Weg~r =r~er, wobei~er = cos(ϕ)~ex+ sin(ϕ)~ey, der durch den Radius r(t) und den Winkel ϕ(t) parametrisiert ist. Zeigen Sie, dass die Geschwin- digkeit~v und die Beschleunigung~a wie folgt gegeben sind:
~
v = ˙r~er+rϕ~˙eϕ, ~a = (¨r−rϕ˙2)~er+ (2 ˙rϕ˙ +rϕ)~¨ eϕ, wobei~eϕ =−sin(ϕ)~ex+ cos(ϕ)~ey.
b) Machen Sie sich für das Beispiel r(t) = r0(1 +t) und ϕ(t) = 8π1 t2 klar, wie deren Geschwindigkeit und Beschleunigung aussehen. Fertigen Sie dazu eine Skizze des Weges für t ∈ [0,4π] an und zeichnen Sie an einigen Punkten dieses Weges die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren ein.
Lösung:
a) Es gilt~r(t) = r(t)
cos(ϕ(t)) sin(ϕ(t))
. Es gilt
~˙ er=
ϕ(−˙ sin(ϕ))
˙
ϕcos(ϕ)
= ˙ϕ~eϕ; ~e˙ϕ =
ϕ(−˙ cos(ϕ))
˙
ϕ−sin(ϕ)
=−ϕ~˙er.
Die erste und zweite zeitliche Ableitung von ~r könen damit nach Ketten- und Pro- duktregel berechnet werden:
~v := ˙~r = ˙r~er+rϕ~˙eϕ;
~a := ¨~r =¨r~er+ ˙rϕ~˙eϕ+ ˙rϕ~˙eϕ+rϕ~¨eϕ−rϕ˙2~er
=(¨r−rϕ˙2)~er+ (2 ˙rϕ˙+rϕ)~¨ eϕ. b)
~r(t) = (1 +t)
cos(2πt2) sin(2πt2)
,
~v(t) =
cos(2πt2) sin(2πt2)
+ 4π(1 +t)t
−sin(2πt2) cos(2πt2)
,
~a(t) = −(4πt)2(1 +t)
cos(2πt2) sin(2πt2)
+ 4π(1 + 3t)
−sin(2πt2) cos(2πt2)
.
1
Abbildung 0.1: Geschwindigkeit (links) und Beschleunigung (rechts) des Weges~r(t)für r0 = 1 zu den Zeiten t= 4π10n fürn = 0, . . . ,10.
3 Geschwindigkeit und Beschleunigung in kartesischen Koordina-
ten (10)
Gegeben sei der Weg
~r(t) = cos(ωt)~ex+ sin(2ωt)~ey.
Berechnen Sie die Geschwindigkeit und Beschleunigung dieses Weges. Fertigen Sie eine Skizze des Weges an für eine sinnvolle Wahl vonωund zeichnen Sie die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren an einigen Punkten des Weges ein.
Lösung:
~r(t) = cos(ωt)~ex+ sin(2ωt)~ey,
~v(t) =−ωsin(ωt)~ex+ 2ωcos(2ωt)~ey,
~a(t) =−ω2cos(ωt)~ex−4ω2sin(2ωt)~ey.
2
Abbildung 0.2: Geschwindigkeit (links) und Beschleunigung (rechts) des Weges~r(t)für ω = 1/π zu den Zeiten t = 10ω2π n für n = 0, . . . ,10.
4 Bremsweg und Kurvenbeschleunigung (5+5)
Alle zur Lösung dieser Aufgabe verwendeten Formeln sollen aus den elementaren kine- matischen und dynamischen Grundbegriffen wie etwaBahn, Geschwindigkeit,Beschleu- nigung und den Newtonschen Axiomen hergeleitet und begründet werden. Einfaches Übernehmen aus Formelsammlungen zählt nicht!
a) Ein Fahrzeug bremst von einer Anfangsgeschwindigkeit v0 mit konstanter Verzöge- rung, also negativer Beschleunigung a0 <0, bis zum Stillstand ab. Welche Strecke s legt es während dieses Bremsvorgangs zurück? Bestimmen Sie sbeia0 =−7m/s2 für Anfangsgeschwindigkeiten v0 = 25km/h, 50km/h und 75km/h. Welche Bremskraft muss dabei aufgewendet werden, wenn die Fahrzeugmasse 1t beträgt? Welche Kraft muss ein unangeschnallter Fahrer (Masse 80kg) während des Bremsens aufwenden, um nicht vom Sitz zu rutschen?
b) Nun fährt das Fahrzeug mit betraglich konstanter Geschwindigkeit von 100km/h durch eine Kurve mit Radius 20m. Welche Beschleunigung erfährt hierbei das Fahr- zeug? Welche Kräfte wirken hierbei auf Fahrzeug und Fahrer? Geben Sie hier auch die Richtungen der Beschleunigungen und Kräfte an.
Lösung:
a) Es gilt v˙ ≡ a0. Durch Integrieren folgt v(t) = v0 +a0t. Nochmaliges Integrieren liefert die zurckgelegte Strecke s(t) =v0t+12a0t2. Das Auto steht zum Zeitpunkt
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t0 =−va0
0, definiert durch v(t0) = 0. Einsetzen in s(t) liefert s =s(t0) =− v02
2a0
.
Einsetzen der Werte liefert s = 3,44m, s = 13,78m bzw. s = 31m. Anhand der Formel F =ma berechnet sich die Kraft zuF =−7000N bzw. F =−560N.
b) Der Kreis, auf dem sich das Auto bewegt, liege um den Ursprung. Dann lässt sich der Weg in Polarkoordinaten wie folgt darstellen:
~
r(t) =R
cos(ϕ(t)) sin(ϕ(t))
wobeiR = 20m.
Es gilt |~v(t)|=R|ϕ(t)|˙ = 100km/h. Also |ϕ| ≡˙ 50361s.
Für die Beschleunigung des Fahrzeungs gilt ~a = −Rϕ˙2~er ≈ −38,6ms2~er, d.h. |~a| ≈ 38,6ms2 und die Beschleunigung zeigt senkrecht zum Weg hin zum Ursprung des Krei- ses. Da der Fahrer fest im Fahrzeug sitzt erfährt er offenbar exakt dieselbe Beschleu- nigung wie das Fahrzeug.
Zur Bestimmung der Kräfte auf Fahrzeug bzw. Fahrer ist nach Newtons Bewegungs- gesetz m~a = F~ die Beschleunigung mit den enstsprechenden Massen von 1000kg bzw. 80kg zu multiplizieren, d.h. F~F ahrzeug ≈ −38580N~er und F~F ahrer =−3084N~er. Insbesondere wirken beide Kräfte zentripetal, d.h. auf den Mittelpunkt des Kreises hin.
[Warum spürtman im Auto dagegen immer in der Kurve eine nach außen gerichtete Zentrifugalkraft (gleichen Betrags)? Drei Erklärungsversuche:
a) mittels Analogie: die Schwerkraft zieht mich definitiv Richtung Erdboden, den- noch muss ich mich zB. bei einem Handstand mit den Händen und Armen vom Boden weg und zur Zimmerdecke hin in die entegegengesetzte Richtung stem- men.
b) Jede Kraft benötigt eine Gegenkraft. Die Zentrifugalkraft, die uns in der Kurve nach außen drückt, ist bei genauerem Hinsehen exakt die Gegenkraft der in 4b) berechneten Zentripetalkraft.
c) Wechsel in eine beschleunigtes Bezugssystem: Als Autofahrer wählt man intui- tiv das Auto als Bezugssystem. Dieses System ist kein Intertialsystem (da be- schleunigt) und benötigt deshalb sog. Schein- oder Trägheitskräfte zur Wahrung der Newtonschen Gesetze. Die Zentrifugalkraft ist eine derartige Trägheitskraft.
(Genaueres folgt in der Vorlesung zum Thema “Beschleunigte Bezungssysteme und Trägheitskräfte”).
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