Grundbegriffe Geschwindigkeit und Beschleunigung
Die Geschwindigkeit eines Körpers ist ein Maß für seinen je Zeiteinheit in einer bestimmten Richtung zurückgelegten Weg. Sie ist, wie der Ort, ein Vektor und definiert durch die Relation
vr
) t ( dt r
r d t lim r )
t (
v r
t 0r = r = &r
∆
= ∆
→
∆
• SI-Einheit:
s m
• Dimension: Länge/Zeit - T L
• Die Geschwindigkeit ist die erste Ableitung der Weg-Zeit-Funktion Die Geschwindigkeit ist ein Vektor, deren Länge den Betrag der
Geschwindigkeit und dessen Richtung die Richtung der Bewegung angibt.
Die Geschwindigkeit kann sich zeitlich ändern!
Die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt to ist der Anstieg der Tangente der Funktion r(t) bei t = to.
Es sei rr(t)=x(t)ri Tangente in P0:
Momentangeschwindigkeit i dt |
) t ( ) dx t t (
vr o t to r
= =
=
Die Mittlere Geschwindigkeit zwischen zwei Zeitpunkten t1 und t2 erhält man aus dem Anstieg der Sekante zwischen den Punkten P1(x1,t1) und P2(x2,t2)
1 2
1 2
t t
x x t v x
−
= −
∆
= ∆
Für hinreichend kleine ∆t geht die mittlere Geschwindigkeit in die
Momentangeschwindigkeit über.
Ist die Geschwindigkeit eines Körpers gegeben, so kann man die Weg-Zeit- Funktion durch Integration ermitteln:
) t ( vr )
t ( rr
r
∫
+
= t
t 0 0
0
dt ) t ( v )
t ( r ) t (
r r r
r
r
Cdt ) t ( v )
t (
r r r
r = ∫ +
oder) t (
rC : Integrationskonstante, wird bestimmt mittels der Anfangsbedingungrr0(t0)
Beispiel: geradlinig gleichförmige Bewegung Für vr(t)= const.= vr0(t) gilt dann: rr(t)−rr0(t = 0) = vr0t
Da die Größen vr(t), vr0(t) und rr(t), rr0(t) Vektoren sind, erhält man mit
k ) t ( z j ) t ( y i
) t ( x )
t (
r r r r
r = + +
und
k v j v i
v )
t (
v r =
xr +
yr +
zr
aus obiger Vektorgleichung drei Gleichungen:
x(t) = x
o+ v
0xt ; y(t) = y
0+ v
0yt ; z(t) = z
0+ v
0zt
Ist die Funktion bekannt, so kann der zeitliche Mittelwert der Geschwindigkeit zwischen zwei Zeitpunkten t
) t ( vr
1 und t2 auch folgendermaßen berechnet werden:
t x t
t x x t
t
dt ) t ( v v
1 2
1 2 1
2 t
t
2
1
∆
= ∆
−
= −
=
∫
r−Die Berechnung des zeitlichen Mittelwertes der Geschwindigkeit durch
Integration führt zum selben Resultat, wie die Berechnung aus dem Anstieg der Sekante.
Superpositionsprinzip
Innerhalb eines Bezugssystems gilt das Superpositionsprinzip:
Gleichzeitig ablaufende Bewegungen eines Körpers beeinflussen sich gegenseitig nicht. Die Bewegungen
können, ohne daß sich am Ergebnis etwas ändert, auch einzeln nacheinander ablaufen.
Die momentane Geschwindigkeit eines Körpers ergibt sich aus der vektoriellen Summe der Geschwindigkeiten
der Teilbewegungen.
k v j
v i
v )
t (
v r
i=
ixr +
iyr +
izr
∑
==
n1 i
v
iv r r
v r
v r
2v r
1Galileitransformation und
Additionstheorem der Geschwindigkeiten
Koordinatensysteme, die sich relativ zueinander mit geradlinig
gleichförmiger Geschwindigkeit vr bewegen, heißen Inertialsysteme.
Für diese Systeme gilt im Rahmen der klassischen Mechanik beim Übergang von einem Koordinatensystem in ein anderes Bezugssystem die Galileitransformation sowie das Additionstheorem der
Geschwindigkeiten.
Es seien A und B zwei Systeme, die sich relativ zueinander mit der konstanten Geschwindigkeit vr bewegen.
Im System A (ungestrichenes System) seien die Koordinaten des Ortsvektors r mit (x,y,z) bezeichnet.
Im System B (gestrichenes System) seien die Koordinaten des Ortsvektors r’ mit (x’,y’,z’) bezeichnet.
Die Position eines Massenpunktes läßt sich zwischen B und A folgendermaßen umrechnen:
Galileitransformation:
r r = r r ' + v r r t
Ein Massenpunkt, der bezüglich B die Geschwindigkeit u’ hat, bewegt sich bezüglich A mit der Geschwindigkeit
Additionstheorem:
v
r' u
u r = r + r
Das Additionstheorem folgt sofort aus der Galileitransformation durch Differentiation mit
dt ' r ' d u dt und
r
u d r
r r
r = =
Es wird deutlich, dass dies so nur gilt, wenn die Zeit t keiner Transformation unterliegt, d.h. t=t’.
Für die Beschleunigung, die Kraft und die Zeit ergeben sich beim Übergang von A nach B keine Änderungen, d.h. es gilt:
a = a’ ; F = F’ ; t = t’
In Nichtinertialsystemen ( beschleunigten Bezugssystemen ) treten zusätzliche Kräfte, sogenannte Trägheitskräfte auf (Beispiel:
Fliehkraft).
Beschleunigung
Die Beschleunigung gibt an, wie schnell ein Körper seine
Geschwindigkeit ändert. Sie kann mittels folgender Relation definiert werden:
ar
) t ( r ) t ( dt v
v d t lim v )
t (
a r
t 0r = r = &r = &&r
∆
= ∆
→
∆
• Si - Einheit: 2
s m
• Dimension: 2
T L
• Die Beschleunigung ist die erste Ableitung der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion
und die zweite Ableitung der Weg-Zeit-Funktion.
Die Beschleunigung ist ein Vektor:
Länge: Betrag der Beschleunigung Richtung: Richtung der Beschleunigung
Ist die Beschleunigung gegeben, so kann man die Geschwindigkeit durch Integration ermitteln:
) t ( v ) t ( v ' dt ) 't ( a v
d
0 0t
t v
v0 0
