Prof. Dr. Heinz-Willi Goelden, Fachbereich IM, FH Regensburg
4. Übung zur Statistik für Informatiker
Teil A
1. Es sei das folgende, aus drei Bauteilen bestehende System s gegeben, das genau dann aus- fällt, wenn keine intakte Verbindung zwischen a und e besteht:
Weiter seien drei Bauteile b1, b2 und b3 gegeben, die mit einer Wahrscheinlichkeit 2
. 0 α und 15 . 0 α , 1 . 0
α1= 2 = 3= ausfallen und an beliebigen Positionen im System einge- setzt werden können.
a) Man plaziere die Bauteile so, dass das System unter geeigneten Unabhängigkeitsan- nahmen mit möglichst hoher Wahrscheinlichkeit nicht ausfällt.
b) Aufgrund eines Produktionsfehlers seien nun nur noch minderwertige Bauteile zur Verfügung mit einer Ausfallwahrscheinlichkeit von jeweils 90%, allerdings zu güns- tigen Preisen und in großer Stückzahl. Vergleichen Sie die folgenden beiden Varian- ten zur Erhöhung der Systemzuverlässigkeit:
I) n komplette Systeme werden II) jede Komponente wird n-fach parallelgeschaltet parallelgeschaltet
2. Ein aus drei Bauteilen bestehendes System s heißt (2-aus-3)-Sytem, wenn es intakt bleibt, solange mindestens zwei Bauteile intakt sind. α∈(0,1] bezeichne im weiteren die Wahr- scheinlichkeit, dass ein Bauteil vor dem Zeitpunkt t nicht ausfällt, wobei die Ausfälle ein- zelner Teile als unabhängige Ereignisse angenommen werden können.
a) Berechnen und skizzieren Sie in Abhängigkeit von α die Wahrscheinlichkeit P(S), dass s bis zum Zeitpunkt t nicht ausfällt.
b) Für welche Werte von α ist P(S)>α? s
e a
a e
. . .
a e
. . .
. . .
. . .
3. Bei einer Übertragung auf einem binären Kanal kommen die Zeichen O und L im Ver- hältnis 3:4 vor. Ein O wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% fehlerhaft übermittelt, d.h. als L empfangen, ein L mit einer Wahrscheinlichkeit von 30%, d.h. als O empfangen.
a) Geben Sie zunächst einen geeigneten W-Raum (Ω, Α, P) an.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Übertragung eines Zeichens ein Fehler auftritt.
c) Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit die Wahr- scheinlichkeit, dass ein O empfangen wird, und veranschauliche den Rechenweg durch ein Baumdiagramm.
d) Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes von Bayes die Wahrscheinlichkeit, dass tatsäch- lich
d1) ein O gesendet wurde, wenn ein O empfangen wird und d2) ein L gesendet wurde, wenn ein L empfangen wird.
Teil B
1. Nehmen wir an, dass in einer Spielshow im Fernsehen zum Schluß nur noch ein Kandidat X übrig ist, der eine von drei verschlossenen Türen auswählen soll. Hinter einer Tür war- tet der Preis, ein Auto, hinter den beiden anderen stehen Ziegen. Der Kanditat zeigt auf eine Tür, sagen wir Nummer eins. Sie bleibt vorerst verschlossen. Der Moderator, der weiß, hinter welcher Tür sich das Auto befindet, öffnet eine andere Tür, z. B. Nummer drei und eine Ziege schaut ins Publikum. Der Kandidat erhält nun die Möglichkeit, bei der bisher gewählten Tür eins zu bleiben oder zu Tür zwei zu wechseln. Wie soll er sich entscheiden? Anders formuliert: Gibt es stochastischer Sicht berechtigte Gründe, bei der gewählten Tür zu bleiben bzw. die Tür zu wechseln, oder sind die Wahrscheinlichkeiten, den Preis hinter Tür eins bzw. Tür zwei zu finden, nach wie vor identisch?
2. Gegeben seien 5 Urnen folgenden Inhalts:
2 Urnen vom Inhalt A1 mit je 2 weißen und 3 schwarzen Kugeln, 2 Urnen vom Inhalt A2
mit je 1 weißen und 4 schwarzen Kugeln und eine Urne mit dem Inhalt A3 mit je 4 weißen und 1 schwarzen Kugel.
Aus einer willkürlich ausgewählten Urne werde eine Kugel herausgenommen. Sie sei weiß. Wie groß ist nach dem Versuch die Wahrscheinlichkeit (die A-posteriori-Wahr- scheinlichkeit) dafür, dass die herausgegriffenen Kugel aus der Urne vom Inhalt A3
strammt?
