Prof. Dr. Heinz-Willi Goelden, Fachbereich IM, FH Regensburg
5. Übung zur Statistik für Informatiker Teil A
1. Einem Passanten wird an der Straßenecke folgendes Würfelspiel mit zwei symmetrischen, unabhängig geworfenen Tetraedern (vierseitige Würfel mit den Augenzahlen 1 bis 4) vor- geschlagen:
Zeigen die beiden Würfel die gleiche Augenzahl, so erhält er das Fünffache seines Ein- satzes zurück, unterscheiden sich die Augenzahlen dagegen um 1, 2 oder 3, so verliert er den ein-, zwei- oder dreifachen Einsatz.
a) Geben Sie einen geeigneten Laplace-Raum (Ω, Α, P) an.
b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz des Gewinns.
c) Wie hoch muß die Auszahlung (als Vielfaches des Einsatzes) bei gleicher Augenzahl gewählt werden, damit das Spiel fair wird, also einen mittleren Gewinn von 0 besitzt?
2. Um zu entscheiden, ob eine Warenlieferung von 100 Stück angenommen werden soll, wird folgender Stichprobenplan durchgeführt:
Zunächst wird eine Stichprobe vom Umfang 5 genommen.Falls sich darunter kein Aus- schussstück befindet, wird die Lieferung angenommen. Ist mehr als eine Ausschussstück dabei, dann wird die Lieferung abgelehnt. Ist genau ein Ausschussstück darunter, dann wird eine zweite Stichprobe vom Umfang 10 entnommen. Falls sich kein Ausschussstück in dieser zweiten Stichprobe befindet, wird die Lieferung angenommen, andernfalls end- gültig abgelehnt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für die Annahme der Lieferung, wenn die Liefe- rung 4 defekte Stücke enthält und
a) die entnommenen Stücke nach der Überprüfung nicht zurückgelegt werden („Ziehen ohne Zurücklegen“),
b) die entnommenen Stücke nach der Überprüfung wieder zurückgelegt werden („Zie- hen mit Zurücklegen“).
3. Gegeben sei eine Urne mit K schwarzen und M−K weißen Kugeln, aus der eine Stich- probe vom Umfang n mit n<Kundn<M−Kbereits entnommen wurde („Ziehen ohne Zurücklegen“). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im(n+1)- ten Zug eine schwarze Kugel zu ziehen?
Hinweis: Unterscheiden Sie die Fälle „Ergebnis der Stichprobe bekannt“ und „Ergebnis der Stichprobe unbekannt“.
Teil B
1. Ein Fragebogen besteht aus 10 Fragen mit jeweils 4 vorgegebenen Antworten, von denen je eine richtig ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer zufälligen Auswahl der Antworten, dass
a) genau 3 Antworten, b) mindestens 3 Antworten richtig sind?
2. Einer Lieferung von 1000 Kondensatoren wird eine Stichprobe vom Umfang n=40 ent- nommen. Enthält die Stichprobe mehr als 2 unbrauchbare Teile, so wird sie zurückgewie- sen. Gesucht ist die Annahmewahrscheinlichkeit der Lieferung, wenn sie 1%, 2%, 5%
bzw. 10% unbrauchbare Teile enthält?
Bemerkung: Wenn der Umfang M der Lieferung so groß ist, dass während der Entnahme der Stichprobe vom Umfang n in der jeweils verbleibenden Grundgesamtheit der Aus- schussanteil nur unwesentlich verändert wird, so kann näherungsweise das Modell „mit Zurücklegen“ anstelle des realistischen Modells „ohne Zurücklegen“gewählt werden.
(Kriterium in der Praxis: 0,05 M
n ≤ )
3. Eine Lieferung von M=500 Bauteilen enthält K=10 defekte Teile. Aus der Lieferung werden n=50 Bauteile entnommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält die Stich- probe kein defektes Bauteil?
4. Die Anzahl der in einem bestimmten Zeitintervall in einer Telefonzentrale eintreffenden Anrufe (Signale) ist Poissonverteilt. Die Zentrale erhält im Mittel 180 Anrufe in der Stunde. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb einer Minute mehr als 6 An- rufe eintreffen?
