Prof. Dr. Heinz-Willi Goelden, Fachbereich IM, FH Regensburg
3. Übung zur Statistik für Informatiker
Teil A
1. Ein mittelständiges Unternehmen verfügt über 3 Fertigungsabteilungen. In diesen Abtei- lungen können Störungen im Produktionsablauf auftreten. Es werden die nachfolgend genannten Ereignisse betrachtet:
A „alle Abteilungen arbeiten ohne Störung“
B „keine Abteilung arbeitet ohne Störung“
C „wenigstens eine Abteilung arbeitet ohne Störung“
D „höchstens eine Abteilung arbeitet ohne Störung“
E „genau eine Abteilung arbeitet ohne Störung“
Geben Sie zur Darstellung der Ereignisse A, B, ..., E einen geeigneten Grundraum Ω und eine Ereignisalgebra Α auf Ω an,
a) falls die Abteilungen nicht unterschieden,
b) falls die Abteilungen unterschieden werden sollen.
2. Es seien vier Klassen von Jobs gegeben, die sich im wesentlichen hinsichtlich der Bear- beitungszeit unterscheiden. Weiter seien 20 Jobs gegeben, vier der Klasse 1, sechs der Klasse 2, sieben der Klasse 3 und drei der Klasse 4. Nun werden zur Bearbeitung fünf der 20 Jobs zufällig ausgewählt. Wie groß ist nach dem Prinzip der Gleichwahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit, dass darunter
a) genau drei Jobs der Klasse 2, b) mindestens drei Jobs der Klasse 2, c) mindestens ein Job der Klasse 2, d) nur Jobs der Klasse 3 und 4, e) genau drei Jobs einer Klasse,
f) höchstens zwei Jobs genau einer Klasse
sind bzw. ist? Geben Sie zunächst einen geeigneten W-Raum (Ω, Α, P) an.
3. In einem Hörsaal befinden sich n Studenten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass a) mindestens zwei am selben Tag,
b) genau zwei am selben Tag und alle anderen an verschiedenen Tagen Geburtstag haben, wenn Schaltjahre nicht berücksichtigt werden?
4. Zwei Programme P1 und P2 sollen im Mehrprogrammbetrieb auf einer Workstation ge- startet werden. Dazu wird nacheinander jedes der Programme eine vorgegebene Zeit- spanne lang bearbeitet. Die Bearbeitung wird solange zyklisch fortgesetzt, bis beide Pro- gramme beendet sind (s.g. Zeitscheibenverfahren). Die Wahrscheinlichkeit, dass P1 nach dem ersten Schritt beendet ist, beträgt 0.3. Ist P1 dagegen noch nicht beendet, so gelingt dies im zweiten Schritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.7. Waren beide Schritte nicht ausreichend, so wird P1 im dritten Bearbeitungsschritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.8 beendet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind zur vollständigen Bearbeitung von P1
mehr als 3 Schritte notwendig?
Teil B
1. Unter den Teilnehmern einer Vorlesung wird eine Person zufällig ausgewählt. Mit A wird das Ereignis bezeichnet, dass die ausgewählte Person männlichen Geschlechts ist. Das Ereignis B besteht darin, dass diese Person nicht raucht, und das Ereignis C drückt aus, dass sie im Wohnheim wohnt.
a) Bestimmen Sie einen für diese Aufgabe geeigneten Ergebnisraum Ω. b) Beschreiben Sie verbal das Ereignis A∩(B∩C).
c) Bei der Befragung von 30 Personen ergibt sich folgendes Bild:
Die zwei männlichen Raucher und auch zwei der 7 weiblichen Raucher haben einen Wohnheimplatz. Von den 11 männlichen Nichtrauchern wohnen nur 3 im Wohnheim.
Es gibt 10 weibliche Nichtraucher. Schließlich stellt sich heraus, dass es keine weib- lichen Nichtraucher im Wohnheim gibt.
Definieren Sie anhand dieser Statistik ein diskretes W-Maß auf 2Ω.
d) Wie groß ist die W’keit, dass eine zufällig ausgewählte Person weiblich und Raucher ist.
2. Aus der Menge der ersten 100 natürlichen Zahlen wird eine Zahl durch ein Laplace- Experiment ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl durch 6 oder 8 teilbar ist?
3. Dem Beobachter werden drei Schachteln gleichen Aussehens vorgelegt. Er weiß, dass eine davon zwei Goldmünzen, die zweite zwei Silbermünzen und die dritte eine Gold- münze und eine Silbermünze enthält. Der Beobachter nimmt eine Schachtel und und zieht eine Goldmünze. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die in der Schachtel verbliebene Münze ebenfalls aus Gold?
4. Die Wahrscheinlichkeit, das Ergebnis eines bestimmten Zufallsexperiments zu erraten sei 1%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 200 Personen mindestens eine Person das Ergebnis errät, wenn die Rateversuche der Personen voneinander unabhängig sind?
5. In einer Fabrik werden bestimmte Werkstücke an drei Maschinen gefertigt. Die Maschine 1 liefert 50% der Produktion mit einem Ausschussanteil von 3%, Maschine 2 liefert 30%
mit einem Ausschussanteil von 1% und die Maschine 3 liefert 20% bei einem Ausschuss- anteil von 2%.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig aus der Gesamtproduktion ent- nommenes Werkstück Ausschuß ist?
b) Ein Werkstück sei Ausschuß. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es von der Maschine 1 gefertigt wurde?
