Bedeutung von Aggregationsfehlern in Erreichbarkeitsmodellen

Die ersten systematischen Untersuchungen im Kontext von Erreichbar-keitsuntersuchungen erfolgten seit dem Ende der 1960er Jahre (Dalvi &

Martin 1976, S. 31ff.; Judge 1974; Thomas 1969). Im Fokus standen der Einfluss der räumlichen Aggregation auf die tatsächlich im Modell mess-baren Interaktionen und die Möglichkeit, Erreichbarkeitsindikatoren über aggregierte Raumeinheiten repräsentativ darzustellen (Dalvi &

Martin 1976, S. 32).

Das Zentroidproblem

Im direkten Zusammenhang zum Skaleneffekt steht das Zentroidprob-lem. Das Zentroidproblem resultiert aus der räumlichen Auflösung von Interaktionsmöglichkeiten in Erreichbarkeitsmodellen (Dalvi & Martin 1976; Hillsman & Rhoda 1978). Durch die Kleinräumigkeit werden der Skaleneffekt reduziert und Erreichbarkeitsunterschiede sichtbar, die bei einer hohen Aggregation eingeebnet wären. Bereits 1973 hoben Batty et al.

die Bedeutung einer hohen räumlichen Auflösung hervor, um räumliche Interaktionen und Allokationen richtig zu beschreiben. Sie betonten aber auch, dass die Modellentwicklung technischen Grenzen unterliegt (1973, S. 364). Eine erste weitergehende Untersuchung des Zentroid problems haben Dalvi & Martin (1976) am Beispiel Londons durchgeführt. Sie konnten zeigen, dass eine zusätzliche Aggregation in der Regel zu ver-ringerten Erreichbarkeitswerten führt (ebd., S. 36ff.).

Eine allgemeine Formulierung von Aggregationsfehlern bei der Distanzberechnung bieten Hillsman & Rhoda (1978). Sie unterscheiden zwischen Fehlern der Typen A, B und C. Diese Fehler beschreiben den Einfluss von Zentroiden auf das Verhältnis zwischen tatsächli-chen Wegelängen und geschätzten Distanzen unter Berücksichtigung von Zentroiden (ebd., S. 75). Als Fehler A wird ein Unterschätzen der Distanzen zwischen aggregierten Raumeinheiten und standortscharfen Gelegenheiten aufgrund nicht möglicher Repräsentativität des Zentroiden verstanden. Abbildung 15 zeigt die Distanz zwischen einem Zentroiden und einer zufällig gewählten Gelegenheit. Die Distanzen zwischen allen Punkten auf der halbierenden Geraden (mit Ausnahme des Zentroiden) und der Gelegenheit liegen oberhalb der Distanz ausgehend vom

Zentroid Gelegenheit

500 Meter 400 Meter

Zentroid Gelegenheit

Äquidistanz (400 Meter)

Äquidistanz (400 Meter) 2 Die Grundlagen regionaler Erreichbarkeitsmodelle

Quelle: eigene Darstellung

Abbildung 15: Fehler A der räumlichen Aggregation

Zentroiden. Entsprechend ist die berechnete Distanz nicht repräsenta-tiv gegenüber den im Mittel tatsächlich aufzubringenden Wegelängen, da ein Verschieben des Zentroiden die Abweichung zumeist vergrößert.

Aggregationsfehler vom Typ A sind eine allgemeine Formulierung des Zentroidproblems und prinzipiell nicht vermeidbar.

Das Zentroidproblem resultiert also aus der Verwendung von Zentro-iden zur Abbildung von Interaktionen zwischen Raumeinheiten (Dalvi &

Martin 1976, S. 32ff.). Prinzipiell ist zwischen der Charakteristik des Rau-mes bzw. der Raumeinteilung und der Charakteristik von Interaktionen bei der Bewertung des Zentroidproblems zu unterscheiden (Stępniak &

Jacobs Crisioni 2017, S. 18). Wie in Abbildung 16 dargestellt, führt eine starke Aggregation zu einer hohen Generalisierung individueller Inter-aktionen, bei einer schwachen Aggregation nähern sich modellierte und reale Interaktionen hingegen an.

Der Skaleneffekt beeinflusst die Auflösung von Interaktionen und Interaktionsmöglichkeiten zwischen räumlich getrennten Raumeinhei-ten. Dieser Effekt beeinflusst die absoluten Erreichbarkeitswerte aber auch relative Unterschiede zwischen einzelnen Raumeinheiten. Zu einer Verzerrung der relativen Abweichungen kommt es dann, wenn das Raumbezugssystem in einem Erreichbarkeitsmodell eine uneinheitliche Auflösung besitzt (Pooler 1987, S. 274). Die Größe statistischer Gebiete hängt häufig von der Datendichte (Bebauung, Bevölkerung etc.) ab.

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Folglich sind diese Gebiete in Innenstädten zumeist wesentlich kleiner als am Stadtrand. Auch Gemeinden und Kreise weisen sehr heterogene Gebietsgrößen auf. Da eine starke räumliche Aggregation tendenziell zu einem Unterschätzen der realen Raumwiderstände führt, werden die rela-tiven Erreichbarkeitswerte in zentralen Lagen im Vergleich zu peripheren Lagen tendenziell unterschätzt (Dalvi & Martin 1976, S. 37).

Nach Hewko et al. (2002, S. 1185) entstehen Aggregationsfehler dann, wenn räumlich verteilte Individuen und ihre Interaktionen über Zentro-ide nachgebildet werden. Am Beispiel von Edmonton (Alberta, CA) un-tersuchten sie, wie sich die räumliche Auflösung auf die Berechnung von kürzesten Wegen zu nächsten Gelegenheiten auswirkt. Drei Ansätze ka-men zur Anwendung. Von 199 Wohnbezirken wurden die geometrischen Zentroide (1) sowie die einwohnergewichteten Zentroide (2) berücksich-tigt. Im dritten Ansatz wurden die kürzesten Wege für alle 18.396 Post-leitzahlgebiete separat berechnet. Anschließend erfolgte die Berechnung der einwohnergewichteten mittleren Distanzen für die 199 Wohnbezirke (3). Die Gelegenheiten umfassen unter anderem adressgenaue Standorte von 301 Spielplätzen und 19 Freizeitzentren. Die Distanzberechnung Abbildung 16: Der Skaleneffekt und das Zentroidproblem

A B C

nicht aggregiert stark aggregiert schwach aggregiert

Interaktion (Realität) Interaktion (Modell) Zentroid

Rasterzelle Wohnstandort

Gelegenheit

Quelle: eigene Darstellung in Anlehnung an Current & Schilling (1987, S. 96)

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erfolgte ausschließlich auf Basis von Luftlinien entfernungen (ebd., S. 1194). Dieses idealisierte Abbild der realen Gegebenheiten ermöglicht die Quantifizierung von Aggregationsfehlen in Abhängigkeit von der räumlichen Auflösung und ohne die verzerrenden Einflüsse von Ver-kehrsgraphen. Gleichwohl machen Besonderheiten des Verkehrsnetzes und insbesondere des ÖPNV-Netzes zusätzliche Aggregationsfehler wahrscheinlich. In der Verwendung einer hohen Auflösung und der an-schließenden einwohnergewichteten Aggregation der Ergebnisse liegen zwei entscheidende Vorteile. Erstens werden die realen Interaktionen nicht durch vom Zentroiden ausgehende Interaktionen substituiert. Und zweitens wird keine homogen verteilte Bevölkerung je Raumeinheit un-terstellt (ebd., S. 1192). Dieses Verfahren erfordert jedoch einen hohen Rechenaufwand und den Umgang mit großen Datenmengen. Insofern vereinfacht es die Darstellung und Interpretation der Ergebnisse aber nicht die Berechnung der Indikatoren.

Die Analysen zeigen, dass sowohl die mittleren Entfernungen als auch die Standardabweichungen und die Extremwerte der kürzesten Wege je nach Untersuchungsansatz variieren. Bei Verwendung einfacher Zentroide ergibt sich eine mittlere euklidische Distanz zum nächsten Spielplatz von 311 Metern. Bei der Verwendung einwohnergewichte-ter Zentroide fällt dieser Wert auf 285 Meeinwohnergewichte-ter. Werden die Entfernun-gen jedoch mit Hilfe der Postgebiete bestimmt, ergeben sich mittlere Distan zen von 408 Metern. Die Mindestdistanz unter Verwendung der Zentroide liegt bei 5 Metern und bei 175 Metern bei einer Aggregation der Einzelwerte über die Postgebiete (ebd., S. 1195). Die mittlere Distanz zur nächsten Gelegenheit ist abhängig von der Anzahl der Einrichtungen im Gelegenheitstyp. Die kürzeste euklidische Distanz zu einem Spielplatz beträgt 311 Meter (n = 301), zum nächsten Freizeitzentrum hingegen zwei Kilometer (n = 19). Die Abweichungen zwischen den mittleren Distanzen unter Verwendung von Zentroiden und Postgebieten nehmen bei allen Gelegenheitstypen um rund 100 Meter ab. Entsprechend reduziert sich die relative Bedeutung der Abweichungen mit der Anzahl der Gelegen-heiten. Dabei wird jedoch übersehen, dass die Anzahl der Einrichtun-gen lediglich die relativen Unterschiede beeinflusst. Ursächlich für die Aggregationsfehler ist nicht die Anzahl unterschiedlicher Einrichtun-gen, sondern ihre Dichte und Verteilung im Untersuchungsgebiet. Die

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Analysen in dieser Arbeit setzen die Verzerrungen in den einzelnen Gelegenheitstyp in Relation zu ihrer Dichte in der MRH. Ohne diesen Bezug wäre keine Übertragung der Ergebnisse auf andere Untersuchungs-gebiete möglich.

Hewko et al. (2002, S. 1203) kommen schließlich zu dem Ergebnis, dass das Zentroidproblem unter Berücksichtigung zahlreicher Gelegen-heiten im nachbarschaftlichen Umfeld besonders ausgeprägt ist. Deut-lich wird außerdem, dass die Verwendung von einwohnergewichteten Zentroiden auch zu relativen Verzerrungen führt, wenn sehr kurze Wege zu nächsten Gelegenheiten berechnet werden. Dies führt dazu, dass die relative Lagegunst zahlreicher Wohnbezirke unter Verwendung der Zen-troide erheblich von den realen Bedingungen abweicht. Zudem zeigen sie, dass die Gewichtung der Zentroide über die Einwohnerverteilung nur einen geringen zusätzlichen Genauigkeitsgewinn erzeugt.

Wie bereits gezeigt, werden Entfernungen und damit Reisezeiten in einem Vektormodell (Gemeinden, Kreise etc.) im Vergleich zu einem Rastermodell überschätzt (Hillsman & Rhoda 1978; Dalvi & Martin 1976).

Diese Befunde wurden auch am Beispiel der 314 Gemeinden umfassenden Region Masowien (PL) bestätigt (Stępniak & Rosik 2015, S. 227). In dieser Untersuchung wurden Potenzialindikatoren unter Verwendung realer Reisezeiten im MIV berechnet und drei Aggregationsverfahren vergli-chen. Im ersten Ansatz werden die Indikatoren auf Ebene von Zentro-iden für alle Gemeinden berechnet (1). Im zweiten Ansatz erfolgt eine gewichtete Mittelwertbildung der Indikatoren für jede Gemeinde unter Verwendung eines 1-Km Rasters (2). Um etwaige Fehler bei der Mittel-wertbildung zu vermeiden, wurde ein weiteres Verfahren entwickelt, welches nicht die Indikatorwerte, sondern die Reisezeiten gewichtet (3).

Die Ansätze eins und zwei sind eng an Hewko et al. (2002) angelehnt und ermöglichen insofern vergleichende Analysen unter Realbedingun-gen im Straßennetz. Das Untersuchungsgebiet ist hier jedoch wesentlich größer und es kommt zudem ein homogenes Rastermodell zum Einsatz.

Die Ergebnisse zeigen, dass die Unterschiede zwischen Ansatz eins so-wie den Ansätzen zwei und drei erheblich sind, eine hohe räumliche Aufl ösung die Aggregationsfehler also deutlich reduziert (Stępniak &

Rosik 2015, S. 234, 235). Der Unterschied zwischen den Modellen zwei und drei ist hingegen wesentlich geringer. Dies zeigt, dass die Art der

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Mittelwert gewichtung keinen entscheidenden Einfluss auf die Genau-igkeit der Erreichbarkeitswerte hat. Die Unterschiede entstammen ver-mutlich nicht den unterschiedlichen Selbstpotenzialen, sondern den komplexen Verbindungen zwischen Gemeinden, welche nur kleinräumig abgebildet werden können.

Bisher haben sich jedoch keine Untersuchungen der Frage gewid-met, ob die Verwendung eines 100-Meter- oder eines 500-Meter-Raster-modells zu einer weiteren Reduktion von Aggregationsfehlern beiträgt.

Ungeklärt ist außerdem, welche Wirkung das Zentroidproblem in den einzelnen Verkehrsmodi und insbesondere im ÖPNV entfaltet. Offen ist auch, ob einzelne Erreichbarkeitsindikatoren von diesem Aggregations-fehler besonders betroffen sind.

Das Eigenpotenzialproblem

Das Eigenpotenzialproblem (engl. selfdistance problem) steht mit dem Zentroidproblem in enger Verbindung und wurde 1976 erstmals disku-tiert. Es beschreibt den Verlust an Informationen über Interaktionen innerhalb einer Raumeinheit (Hillsman & Rhoda 1978, S. 76). Zumeist werden alle Interaktionen innerhalb einer Raumeinheit nicht berück-sichtigt oder als konstant angenommen. Hier beschreibt das Eigenpo-tenzialproblem Fehler bei der Entfernungsberechnung zwischen einer Raumeinheit und einer Gelegenheit innerhalb dieser Einheit, dem so-genannten Eigen- oder Selbstpotenzial (Hewko et al. 2002, S. 1189). Laut Hillsman & Rhoda (1978, S. 76) tritt dieser als Fehler B bezeichneten Aggregationsfehler auf, wenn eine Gelegenheit genau auf dem Zentroi-den einer Raumeinheit liegt. Bei der Aggregation von Wohnstandorten zu einer Rasterzelle entstehen beispielsweise unrealistisch kurze Distan-zen zu nächsten Gelegenheiten, wenn diese in unmittelbarer Nähe des Zentroiden liegen (vgl. Abbildung 17). Wenngleich Hillsman & Rhoda (1978) eben jene Fälle eines deutlichen Unterschätzens realer Distanzen antizipiert haben, sind auch Fälle einer Überschätzung denkbar.

Hewko et al. (2002, S. 1195) haben gezeigt, dass die Wahrscheinlich-keit von Eigenpotenzialen mit der Menge der Gelegenheiten zunimmt.

Zudem erhöhen auch große Raumeinheiten die Wirksamkeit des Eigen-potenzialproblems (Warntz 1979, S. 11). In regionalen Erreichbarkeits-modellen tritt dieser Effekt insbesondere dann auf, wenn für Landkreise

2 Die Grundlagen regionaler Erreichbarkeitsmodelle

Abbildung 17: Funktionsweise des Eigenpotenzialproblems A nicht aggregiert B aggregiert

Wohnstandort Gelegenheit

Zentroid Rasterzelle

Interaktion (Realität) Interaktion (Modell)

Quelle: eigene Darstellung

oder Gemeinden die Reisezeiten zu nächsten Gelegenheiten der Daseins-vorsorge oder zu zentralen Orten berechnet werden. Umfangreiche Selbstpotenziale verhindern in diesen Modellen eine realistische Reise-zeitberechnung im Nahraum. Eine Reduzierung des Eigenpotenzial-problems ist hingegen nicht über die Einwohnergewichtung der Zentroide zu erzielen. Auch Condeço Melhorado et al. (2016, S. 310) be-tonen, dass gerade in Städten mit einer dispersen Bevölkerungsstruktur, einer hohen Verkehrsbelastung und einem ausdifferenzierten Transport-system nur eine hohe räumliche Auflösung Abhilfe leistet.

Das Grenzproblem

Das Zentroidproblem führt zu einer Fehleinschätzung von Raum-widerständen zwischen Zentroiden und Gelegenheiten. Die Zu ordnung der Zentroide zu den nächsten Gelegenheiten ist jedoch korrekt. Bei-spielsweise wird bei der Berechnung des Raumwiderstandes zum nächs-ten Oberzentrum jedem Zentroiden das richtige Oberzentrum mit einer fehlerhaften Reisezeit zugeordnet. Das Grenzproblem führt hin-gegen zu einer fehlerhaften Zuordnung der Zentroide zu den nächsten

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Abbildung 18: Funktionsweise des Grenzproblems

Gelegenheiten. Dieser Effekt tritt auf, wenn einem Zentroiden und einem Wohnstandort unterschiedliche Gelegenheiten nächstgelegen sind (vgl. Abbildung 18).

Auch dieses als Fehler C bezeichnete Problem wurde erstmals von Hillsman & Rhoda (1978, S. 77) beschrieben. Die Fehlallokation von Zentroiden und Raumeinheiten führt demnach immer zu einem Über-schätzen von Raumwiderständen und folglich zu einem UnterÜber-schätzen von Erreichbarkeitswerten. Das Grenzproblem adressiert den Zusam-menhang zwischen der Raumeinteilung und einem Erreichbarkeitswert, weist also große Überschneidungen mit dem Zoneneffekt auf. Demnach ist das Grenzproblem gerade dann besonders ausgeprägt, wenn unregel-mäßige Raumeinheiten wie Gemeinden und Kreise als Raumbezugssys-tem verwendet werden. Zudem fällt dieser Aggregationsfehler gerade auf kurzen Distanzen besonders ins Gewicht (ebd., S. 85). Entsprechend groß ist die Bedeutung für die Naherreichbarkeit im Bereich der Daseinsvor-sorge. Hewko et al. (2002, S. 1203) kommen jedoch zu dem Schluss, dass das Grenzproblem in Gemeinden und Kreisen eher zu vernachlässigen ist, da Versorgungseinrichtungen zumeist innerhalb diese Gebiete liegen, also primär das Eigenpotenzialproblem eine Wirkung entfaltet. Rele-vanter ist das Grenzproblem bei der Verwendung eines kleinräumigen Rasters, da hier eine höhere Wahrscheinlichkeit von Fehlallokationen besteht. Da bei kleinräumigen Rastern jedoch nur geringe absolute Ab-weichungen bei den ermittelten Raumwiderständen auftreten, sind sie nur auf kurzen Distanzen relevant.

Wohnstandort Gelegenheit Zentroid Rasterzelle Interaktion (Realität) Interaktion (Modell)

Quelle: eigene Darstellung in Anlehnung an Current & Schilling (1987, S. 99)

A nicht aggregiert B aggregiert

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