TECHNISCHE UNIVERSITÄT DORTMUND
WIRTSCHAFTS- UND SOZIALWISSENSCHAFTLICHE FAKULTÄT
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Prüfungsfach: Volkswirtschaftslehre
Teilgebiet: Einführung in die Spieltheorie Prüfungstermin: 03.02.2012
Zugelassene Hilfsmittel: Taschenrechner
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Prüfungskandidat/in
(Bitte in Druckbuchstaben ausfüllen!)
Name, Vorname: ...
Matrikel-Nr.: ...
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Bearbeitungshinweis Diplom:
In der Klausur sind drei der vier Aufgaben zu bearbeiten. Die Auswahl der Aufgaben ist auf dem Deckblatt zu kennzeichnen. Ist nicht ersichtlich, welche Aufgaben Sie gewählt haben, werden nur die ersten drei Aufgaben gewertet.
Bearbeitungshinweis Bachelor:
In der Klausur sind zwei der ersten drei Aufgaben sowie Aufgabenteil 4a) zu bearbeiten. Die Auswahl der Aufgaben ist auf dem Deckblatt zu kennzeichnen. Ist nicht ersichtlich, welche Aufgaben Sie gewählt haben, werden nur die ersten zwei Aufgaben und Aufgabenteil 4a) gewertet.
Aufgabe 1 2 3 4 Summe
bitte die drei zu bewertenden
Aufgaben ankreuzen maximal erreichbare Punktzahl
20 20 20 20
erreichte Punktzahl Note
Unterschrift des Prüfers
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Von der Prüfungsaufsicht auszufüllen Unterbrechung der Prüfung:
von ___________ bis ____________ Uhr von __________ bis ___________ Uhr von ___________ bis ____________ Uhr Ende der Prüfung _____________ Uhr
Aufgabe 1:
Betrachten Sie das folgende Spiel:
1/2 d e F
a 3,1 2,3 4,0
b 4,3 2,2 5,1
c 3,2 1,1 6,2
a) Was ist eine strikt dominierte, was eine schwach dominierte Strategie? Geben Sie die jeweilige Definition an und ermitteln Sie im obigen Spiel die Dominanzbeziehungen für alle Strategien! Ermitteln Sie sodann alle Gleichgewichte (IDE), die durch iterierte Eliminierung schwach dominierter Strategien resultieren! Wie viele Gleichgewichte resultieren für das obige Spiel?
b) Ermitteln Sie für das obige Spiel alle Nash Gleichgewichte in reinen Strategien!
Können noch weitere Nash Gleichgewichte in gemischten Strategien existieren?
Begründen Sie Ihre Antwort (nur verbal)!
c) Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse aus a) und b). Wodurch kommt der Unterschied zu Stande?
d) Erläutern Sie den Zusammenhang zwischen IDE und Nash Gleichgewichten (in reinen Strategien). Definieren Sie hierzu, was eine beste Antwort und was ein Nash Gleichgewicht ist! Ist ein IDE immer auch ein Nash Gleichgewicht? Ist ein Nash Gleichgewicht immer auch ein IDE? Welches dieser beiden stellt somit das allgemeinere Lösungskonzept dar?
Aufgabe 2:
Betrachten Sie das folgende Spiel:
1/ 2 A B
A 4,4 0,c
B c,0 1,1
a) Nehmen Sie an, c = 2! Handelt es sich bei obigem Spiel um das klassische Spiel
„Gefangenendilemma“ oder um das Spiel „Stag Hunt“ (Hirschjagd)? Geben Sie dafür zunächst eine Interpretation für die beiden Strategien A und B an! Argumentieren Sie sodann anhand der obigen Auszahlungen, um welches Spiel es sich hierbei handelt!
b) Bestimmen Sie alle Nash Gleichgewichte für das obige Spiel! Stellen Sie die besten Antwort Korrespondenzen grafisch dar und machen Sie die Nash Gleichgewichte darin kenntlich!
c) Nehmen Sie nun an, c = 6! Handelt es sich nun bei obigem Spiel um das klassische Spiel „Gefangenendilemma“ oder um das Spiel „Stag Hunt“? Interpretieren Sie dazu die Strategien A und B! Ermitteln Sie sodann die Nash Gleichgewichte für dieses Spiel!
d) Das Spiel aus c) soll nun einmal wiederholt und nicht diskontiert werden!
Stellt das Strategienprofil, in dem
a. jeder Spieler auf der ersten Stufe A spielt,
b. jeder Spieler mit Wahrscheinlichkeit 3/4 auf der 2. Stufe A spielt und mit Wahrscheinlichkeit 1/4 auf der 2. Stufe B spielt, wenn alle in Stufe 1 A spielen und sonst mit Wahrscheinlichkeit 1 Strategie B spielt,
ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht dar?
e) Nehmen Sie an, das Spiel aus c) wird unendlich oft wiederholt und die beiden Spieler benutzen folgende trigger Strategie: Spiele Strategie A in Periode 1! Solange jeder A spielt, spiele A weiter! Wenn jemand B spielt, spiele für immer B! Geben Sie die Bedingung für den Diskontfaktor β an, damit das Strategienprofil (A,A) aufrecht erhalten werden kann!
Spieltheorie
Aufgabe 3 : Armut und Reichtum
Eine Gesellschaft bestehe aus zwei Individuen: Einem reichen und einem armen Indi- viduum. Das reiche Individuum geht nicht arbeiten und erh¨alt ein konstantes Einkommen aus Kapitalertr¨agen in H¨ohe von 𝐼𝑅. Das arme Individuum hat nur sein Arbeitseinkom- men zur Verf¨ugung. Das arme Individuum bezieht Nutzen aus Konsum und Freizeit. ¯𝑙 gibt die pro Tag zur Verf¨ugung stehende Anzahl an Stunden an. 𝑙 ist die Anzahl gearbeiteter Stunden. Der Lohnsatz ist auf eins normiert. Demnach ist die Freizeit gegeben durch ¯𝑙−𝑙.
Die Nutzenfunktion des armen Individuums lautet
𝑈𝐴 = 𝑙𝑛(𝑙+𝑆) +𝑙𝑛(¯𝑙−𝑙).
𝑆 steht dabei f¨ur eine Spende des reichen Individuums. Dieses ist altruistisch und sorgt sich auch um das arme Individuum. Allerdings ist es ebenfalls an seinem eigenen Konsum interessiert. Seine Nutzenfunktion lautet
𝑈𝑅 = 𝑙𝑛(𝐼𝑅−𝑆) +𝑈𝐴.
a) Nehmen Sie an, dass 𝑆 = 0 ist. Wie hoch ist die Anzahl gearbeiteter Stunden des armen Individuums? Wie hoch ist sein Nutzen? Wie hoch ist der Nutzen des reichen Individuums?
b) Nehmen Sie nun an, dass das arme Individuum zuerst zieht. Es legt seine Arbeits- stunden fest, bevor das reiche Individuum ¨uber seine Spende entscheidet. Das reiche Individuum beobachtet das Einkommen des armen Indivuums und orientiert daran die H¨ohe der Spende. Finden Sie das teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht des Spiels!
Wie hoch ist der Betrag, den das reiche Individuum spendet? Wie viele Stunden ar- beitet das arme Individuum? Ist die Anzahl gearbeiteter Stunden im Vergleich zu a) gesunken? Begr¨unden Sie ihre Antwort verbal und anhand einer Rechnung! Berechnen Sie den Nutzen beider Individuen! Hat sich der Nutzen des armen Individuums im Vergleich zu a) ver¨andert? Ist er gestiegen oder gesunken? Wie verh¨alt es sich mit dem Nutzen des reichen Individuums?
c) Nehmen Sie nun an, dass es einen sozialen Planer gibt, der ¨uber die Spende und die Arbeitsleistung entscheiden kann. Wenn das Ziel des sozialen Planers die Maximierung der Summe der Nutzen beider Individuen ist, wie viele Stunden arbeitet dann das arme Individuum? Welche Spende macht das reiche Individuum? Zeigen Sie anhand einer Rechnung, ob im Vergleich zu b) mehr oder weniger gespendet und gearbeitet wird!
d) F¨uhrt die effiziente L¨osung f¨ur beide Individuen zu einem h¨oheren Nutzen als in der teilspielperfekten L¨osung aus Aufgabenteil b)? Geben Sie aufgrund des Vergleichs in c) zumindest eine Intuition als Begr¨undung f¨ur ihre Antwort! (besser: Rechnung)
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Spieltheorie
Aufgabe 4 : Investitionen
Eine deutsche Firma kann in dem zentralafrikanischen Land A investieren. Die In- vestition w¨urde 1 (Million Euro) kosten und dann 2 (Millionen Euro) Gewinn erbringen.
Zus¨atzlich w¨urde die Investition weitere Wachstumseffekte f¨ur das Land im Wert von 0,5 (Millionen Euro) erzeugen. Der Firma ist nicht bekannt, ob sie es in A mit einer opportu- nistischen oder ehrlichen Regierung zu tun hat. Eine opportunistische Regierung k¨onnte die Firma nach Investition enteignen und den Gewinn selbst vereinnahmen (oder es nicht tun). Eine ehrliche Regierung w¨urde nicht enteignen.
a) Worin genau besteht die Unvollst¨andigkeit der Information in obigem interaktiven Ent- scheidungsproblem? Demonstrieren Sie mit Hilfe der Harsanyi-Transformation wie die Informationsstruktur vervollst¨andigt werden kann und ein Spiel mit unvollkommener Information das Problem modelliert! Wer sind die Spieler in diesem Spiel und welche Aktionsr¨aume haben sie?
b) Stellen Sie die extensive Form des BAYESianischen Spiels dar, wenn bekannt ist, dass 𝑝(Regierung ehrlich)= 13!
c) Definieren Sie nun den Begriff eines (BAYESianischen) Nash-Gleichgewichts f¨urdieses Spiel!
d) Ermitteln Sie das Gleichgewicht! (Geben Sie die Gleichgewichtsstrategien f¨ur alle Spie- ler an!)
e) Transparency International ver¨offentlicht die neu ermittelten Korruptions-Indizes f¨ur alle L¨ander. Land A schneidet so gut ab, dass die Firma nun von𝑝(Regierung ehrlich)=
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3 ausgeht. Wie lautet das Gleichgewicht nun?
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