TECHNISCHE UNIVERSITÄT DORTMUND
WIRTSCHAFTS- UND SOZIALWISSENSCHAFTLICHE FAKULTÄT
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Prüfungsfach: Volkswirtschaftslehre Teilgebiet: Einführung in die Spieltheorie Prüfungstermin: 9. April 2009
Zugelassene Hilfsmittel: Taschenrechner
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Prüfungskandidat/in
(Bitte in Druckbuchstaben ausfüllen!)
Name, Vorname: ...
Matrikel-Nr.: ...
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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 Summe
bitte die drei zu bewertenden
Aufgaben ankreuzen maximal erreichbare Punktzahl
20 20 20 20
erreichte Punktzahl
Note Unterschrift des Prüfers
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Von der Prüfungsaufsicht auszufüllen
Unterbrechung der Prüfung:
von ___________ bis ____________ Uhr von __________ bis ___________ Uhr von ___________ bis ____________ Uhr Ende der Prüfung _____________ Uhr
Aufgabe 1:
A(ndy) und B(eatrice) befinden sich in folgender interaktiven Entscheidungssituation: A kann B einen Heiratsantrag machen (E) oder nicht (UE). Macht er keinen Antrag, so erhält er die Auszahlung 2 und B die Auszahlung 0. Macht er B einen Antrag, so muss B entscheiden, ob sie ihn annimmt (J) oder nicht (N). Lehnt sie ab, so ist ihre Auszahlung 2 und die von A 0.
Nimmt sie an, so befinden sich beide in folgendem Spiel mit simultanen Zügen:
B a
b
a A
3,1 0, -2
b -1,2 1,3
a) Ermitteln Sie alle Nash-Gleichgewichte (in reinen und gemischten Strategien) des 2 + 2-Spieles in simultanen Zügen!
b) Bestimmen Sie die extensive Form des gesamten Spieles!
c) Bestimmen Sie die Normalform des extensiven Spieles aus b)!
d) Ermitteln Sie alle Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien der Normalform aus c)!
e) Welche dieser Gleichgewichte korrespondieren mit einem teilspielperfekten Gleichgewicht der extensiven Form aus c)? Wie lauten die Gleichgewichtspfade?
Können A und B in einem teilspielperfekten Gleichgewicht heiraten?
Aufgabe 2:
Zwei Nachbarn, Herr A und Frau B, entdecken, dass ihre Grundstücke günstige
Voraussetzungen zur Entnahme von Erdwärme bieten. Jeder setzt daher Wärmepumpen zur Energiegewinnung ein. Der Ertrag einer Pumpe hängt dabei von Anzahl der insgesamt auf den beiden Grundflächen eingesetzten Pumpen xA + xB ab und sei durch
Ei (xA, xB) = 24 . xA +xB i = A, B
gegeben. Der Ertrag werde in Geldeinheiten (Euro) gemessen. Der Einsatz einer Pumpe koste 3 Euro, sodass beide Nachbarn die Kostenfunktion Ki (xi) = 3 . xi (i = A, B) haben.
a) Bestimmen Sie die Reaktion(sfunktionen) von A und B auf die jeweilige
Pumpenanzahl des Nachbarn! Stellen Sie diese grafisch dar! Wieviel Pumpen wählt jede(r) im Nash-Gleichgewicht?
b) Wieviele Pumpen sollten die beiden einsetzen, um die Summe ihrer Auszahlungen zu maximieren? Erklären Sie den Unterschied zum Ergebnis in a)!
c) Dieses Spiel werde täglich, also „unendlich oft“ wiederholt. Geben Sie Strategien an, die das sozial optimale Verhalten aus b) als Teil eines teilspielperfekten
Gleichgewichts des Superspiels erklären! Zeigen Sie, dass die von Ihnen benannten Strategien teilspielperfekt sind!
d) Könnten die Aktionen aus b) auch Teil eines (teilspielperfekten) Gleichgewichts sein, wenn das Spiel nur endlich oft wiederholt wird? Begründen Sie Ihre Antwort!
Aufgabe 3:
Die Tennisprofis Fadarar und Nedel nehmen als klare Favoriten am Turnier in Wimbledon teil. Die natürliche Stärke von Nedel ist etwas höher als die von Fadarar. Doping hat aber die Wirkung, dass beide gedopt den jeweils nicht gedopten anderen mit Sicherheit besiegen.
Bestimmen Sie die Normalform des „Doping-Spieles“ unter den Annahmen, dass
- für jeden die Wahrscheinlichkeit, nach dem Turnier getestet (und im Dopingfalle entdeckt zu werden), 1/3 ist,
- die Auszahlung für den Sieg 1, für nachgewiesenes Doping (unabhängig vom Spielausgang) – 1, und sonst 0 beträgt!
a) Wie verhalten sich die beiden Spieler im Gleichgewicht des Spieles? Gibt es dominante bzw. schwach dominante Strategien? Wird gedopt? Wenn ja, von wem und warum?
b) Wie ändert sich das Gleichgewicht, wenn i) die Siegprämie auf 3 erhöht wird?
ii) Die Testwahrscheinlichkeit auf 2/3 erhöht wird?
Begründen Sie Ihre Befunde!
Aufgabe 4:
Betrachten Sie folgendes Spiel zwischen Spieler A und B, die abwechselnd ziehen:
A C B C A C B C A C 4 5
S S S S S
1 0 3 2 5 0 2 1 4 2
a) Ermitteln Sie das eindeutige teilspielperfekte Gleichgewicht! Wie lauten
Gleichgewichtsstrategien, -auszahlungen und -pfad? Warum ist dieses Ergebnis „unplausibel“ und hinsichtlich des Verhaltens in späten Teilspielen auch
problematisch?
Nehmen Sie nun an, Spieler A sei mit Wahrscheinlichkeit p > 0 ein „Gutmensch“, der immer C spielt und mit Wahrscheinlichkeit (l – p) „normal“, d.h. wie in a).
b) Wenn B den Typ von A beobachten könnte, wie würde das teilspielperfekte Gleichgewicht im Spiel mit dem Typ „Gutmensch“ von A lauten?
c) Nehmen Sie nun an, B kann den Typ von A nicht beobachten. Begründen Sie, warum es nun kein (sequentielles) Bayesianisches Nash-GG geben kann, in dem Spieler A die reine Strategie S zu Beginn spielt!
d) Existiert nun ein Bayesianisches Nash-Gleichgewicht, in dem beide Spieler eine positive (erwartete) Auszahlung erzielen? Falls ja, welchen Effekt auf das Kalkül von Spieler B hätte die Existenz des „irrationalen“ Typs von Spieler A? Inwieweit würde dieser dem Problem im ursprünglichen Spiel (Teil a)) begegnen?
