TECHNISCHE UNIVERSITÄT DORTMUND
WIRTSCHAFTS- UND SOZIALWISSENSCHAFTLICHE FAKULTÄT
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Prüfungsfach: Volkswirtschaftslehre Teilgebiet: Einführung in die Spieltheorie Prüfungstermin: 09.02.2010
Zugelassene Hilfsmittel: Taschenrechner
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Prüfungskandidat/in
(Bitte in Druckbuchstaben ausfüllen!)
Name, Vorname: ...
Matrikel-Nr.: ...
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Bearbeitungshinweis:
In der Klausur sind drei der vier Aufgaben zu bearbeiten. Die Auswahl der Aufgaben ist auf dem Deckblatt zu kennzeichnen. Ist nicht ersichtlich, welche Aufgaben Sie gewählt haben, werden nur die ersten drei Aufgaben gewertet.
Aufgabe 1 2 3 4 5 6 Summe
bitte die drei zu bewertenden
Aufgaben ankreuzen maximal erreichbare Punktzahl
20 20 20 20
erreichte Punktzahl
Note Unterschrift des Prüfers
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Von der Prüfungsaufsicht auszufüllen
Unterbrechung der Prüfung:
von ___________ bis ____________ Uhr von __________ bis ___________ Uhr von ___________ bis ____________ Uhr Ende der Prüfung _____________ Uhr
Aufgabe 1:
Betrachten Sie das folgende Spiel in Normalform:
1 2
a b c
a 4,2 2,0 3,1
b 2,3 5,4 1,2
c 1,2 3,2 3,2
a) Bestimmen Sie alle Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien! 2 Punkte
b) Welche Aussage trifft das „Fundamental-Lemma“ allgemein über Gleichgewichte in gemischten Strategien eines Spieles? 5 Punkte
c) Erläutern Sie, warum aus dem Fundamental-Lemma folgt, dass obiges Spiel kein Gleichgewicht in gemischten Strategien haben kann, in dem Spieler 1 a oder b mit positiver Wahrscheinlichkeit wählt und Spieler 2 c mit positiver Wahrscheinlichkeit
wählt! 4 Punkte
d) Bestimmen Sie das Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien, in dem beide Spieler nur die Strategien a und b mit positiver Wahrscheinlichkeit wählen! Wie hoch sind in ihm die erwarteten Auszahlungen für die beiden Spieler? 7 Punkte
e) Begründen Sie, warum es keine weiteren Nash-Gleichgewichte in gemischten Strategien geben kann! Was sagt somit der Satz von Wilson über dieses Spiel aus?
2 Punkte
Aufgabe 2:
Ein Spiel in extensiver Form sei wie folgt gegeben:
Die obere (untere) Zahl bezeichne jeweils die Auszahlung für Spieler 1 (Spieler 2).
a) Geben Sie die Normalform des Spieles an!
(Hinweis: Wie viele Strategien hat Spieler 1?)
b) Ermitteln Sie alle Nash-Gleichgewichte der Normalform!
c) Erläutern Sie den Begriff der Teilspielperfektheit eines Nash-Gleichgewichtes!
Demonstrieren Sie die Forderung an einem nicht teilspielperfekten Gleichgewicht aus b)!
d) Ermitteln Sie alle teilspielperfekten Gleichgewichte des Spieles in reinen Strategien!
e) Ermitteln Sie alle teilspielperfekten Gleichgewichte in gemischten Strategien!
Erläutern und bedienen Sie sich dabei sog. Verhaltensstrategien!
(Hinweis: Kann Spieler 1 in einem teilspielperfekten Gleichgewicht an x2 mischen?
Spieler 2 an x1? Spieler 1 an x0?)
Aufgabe 3:
Betrachten Sie zwei Eisdielen am Phönixsee, die ein identisches Produkt „Eiscreme“
herstellen und verkaufen. Die beiden Eisdielen bilden ein Cournot-Duopol. Die inverse Marktnachfrage sei gegeben durch
P (Q) =
14 – Q für Q 14 0 sonst,L R
1
x0
4
3
L R
2
x1
2
6
L R
1
x2
5 6
3 4
wobei Q = q1 + q2 die aggregierte Absatzmenge an Eiscreme am Markt bezeichnet. Die Kostenfunktionen der Firmen seien gegeben durch C(qi) = 2qi für i = 1,2 und beiden Firmen bekannt.
a) Bestimmen Sie Absatzmengen und –preise im Nash-Gleichgewicht beim Mengenwettbewerb! Wie lautet die Monopollösung?
b) Dieses Grundspiel werde nun unendlich oft wiederholt. Der Diskontfaktor zwischen zwei Perioden sei δ. Geben Sie vollständige teilspielperfekte (Trigger)-Gleichge-
wichtsstrategien an, unter denen die zwei Eisdielen Kollusion auf die Monopolmenge aufrechterhalten, d. h. im Gleichgewicht teilen sich die Eisdielen den Monopolgewinn!
Was ist der niedrigste Diskontfaktor, bei dem sich perfekte Kollusion als teilspielperfektes Gleichgewicht stützen lässt?
c) Können die Absatzmengen aus (b) auch Teil eines (teilspielperfekten) Nash-
Gleichgewichtes sein, wenn das Spiel nur endlich oft wiederholt wird? Begründen Sie die Antwort!
Aufgabe 4:
Ein Monopolist (M) sieht sich potentiellem Marktzutritt durch einen Zutreter gegenüber. Der Zutreter kann entweder vom Typ K(ompetitiv) oder S(chwach) sein, was dem Monopolisten aber nicht bekannt ist. Er hält beide Typen für gleich wahrscheinlich. Der Zutreter muss sich zwischen E(intritt) und N(ichteintritt) entscheiden. Tritt er zu, so muss sich der Monopolist zwischen Z(ulassen) und B(ekämpfen) entscheiden.
Es wird also (aus Sicht des Monopolisten) eines der folgenden beiden Spiele gespielt werden:
K M
Z B
E 3.2 1,1
N 2,4 2,4
S M
Z B
E 4,2 0,3
N 2,4 2,4
Der Zutreter kennt seine Identität (K oder S).
a) Erläutern Sie die sog. Harsanyi-Transformation und zeigen Sie, welches Spiel in extensiver Form diese in vorliegendem Falle erzeugt!
7 Punkte b) Erläutern Sie nun den Begriff eines Bayesianischen Nash-Gleichgewichts für
dieses Spiel!
6 Punkte c) Ermitteln Sie ein Bayesianisches Nash-Gleichgewicht! Ermitteln Sie dazu
zunächst die besten Antwortfunktionen für alle Spieler! (D.h. ermitteln Sie die beste Antwort für M, wenn beide Typen beitreten, nur einer oder keiner. Fragen Sie sodann, ob R (S) zutritt oder nicht, falls S (R) zutritt oder nicht und M seine jeweils beste Antwort spielt).
7 Punkte
