TECHNISCHE UNIVERSITÄT DORTMUND
WIRTSCHAFTS- UND SOZIALWISSENSCHAFTLICHE FAKULTÄT
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Prüfungsfach: Volkswirtschaftslehre
Teilgebiet: Einführung in die Spieltheorie Prüfungstermin: 03.04.2012
Zugelassene Hilfsmittel: Taschenrechner
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Prüfungskandidat/in
(Bitte in Druckbuchstaben ausfüllen!)
Name, Vorname: ...
Matrikel-Nr.: ...
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Bearbeitungshinweis Diplom:
In der Klausur sind drei der vier Aufgaben zu bearbeiten. Die Auswahl der Aufgaben ist auf dem Deckblatt zu kennzeichnen. Ist nicht ersichtlich, welche Aufgaben Sie gewählt haben, werden nur die ersten drei Aufgaben gewertet.
Bearbeitungshinweis Bachelor:
In der Klausur sind zwei der ersten drei Aufgaben sowie Aufgabenteil 4a) zu bearbeiten. Die Auswahl der Aufgaben ist auf dem Deckblatt zu kennzeichnen. Ist nicht ersichtlich, welche Aufgaben Sie gewählt haben, werden nur die ersten zwei Aufgaben und Aufgabenteil 4a) gewertet.
Aufgabe 1 2 3 4 Summe
bitte die drei zu bewertenden
Aufgaben ankreuzen maximal erreichbare Punktzahl
20 20 20 20
erreichte Punktzahl Note
Unterschrift des Prüfers
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Von der Prüfungsaufsicht auszufüllen Unterbrechung der Prüfung:
von ___________ bis ____________ Uhr von __________ bis ___________ Uhr von ___________ bis ____________ Uhr Ende der Prüfung _____________ Uhr
(Blitzer) durchzuführen (B) oder nicht (KB). Die Autofahrer (A) können entweder „schnell fahren“ (S) oder das Tempolimit einhalten (E). Dieses Spiel soll simultan gespielt werden und führt zu folgenden Auszahlungen:
A/P B KB
S -30, 10 0, -10
E 6, -20 -4, 0
a) Bestimmen Sie die Nash-Gleichgewichte in diesem Spiel und stellen Sie die besten Antwort Korrespondenzen grafisch dar! Markieren Sie darin die von Ihnen
bestimmten Nash-Gleichgewichte!
b) Der Verkehrsminister gibt bekannt, dass die Autofahrer Innerorts viel zu schnell fahren. Darum soll das Bußgeld für Temposünder von 30 auf 60 Euro angehoben werden. Erläutern Sie den Effekt, den die Erhöhung auf die Autofahrer hat! Werden diese dadurch weniger häufig das Tempolimit überschreiten? Auf wen hat die Erhöhung im Gleichgewicht einen Effekt? Bestimmen und Erläutern Sie diesen!
c) Was ist ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht? Sind teilspielperfekte Nash- Gleichgewichte immer eindeutig? (Begründung!)
d) Betrachten Sie nun folgendes Spiel:
Bestimmen Sie das teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht (in reinen Strategien) für dieses Spiel! Ist es eindeutig? Erläutern Sie das Ergebnis!
P
B KB
A
S E
S E
10
-30 -20
6
-10 0
0 -4
Spieltheorie
Aufgabe 2 : Verhaltensstrategie
Betrachten Sie folgenden Spielbaum:
a) Wie viele Strategien hat Spieler 1? Wie viele Strategien hat Spieler 2? Nennen Sie diese f¨ur beide Spieler!
b) Erl¨autern Sie, was man im Kontext von Spielen in extensiver Form unter perfekter Erinnerung versteht! Handelt es sich beim gegebenen Spiel um ein Spiel mit perfekter Erinnerung? Begr¨undung!
Falls notwendig, ver¨andern Sie das gegebene Spiel in der Art, dass ein Spiel mit nicht perfekter Erinnerung resultiert!
c) Wenden Sie sich nun wieder der Ausgangssituation zu. Finden Sie eine realisations¨aqui- valente Verhaltensstrategie zu der gemischten Strategie, bei der Spieler 2 alle reinen Strategien mit gleicher Wahrscheinlichkeit spielt, wenn Spieler 1 (𝑥, (1−𝑥)) ¨uber T und H w¨ahlt!
d) Finden Sie nun eine realisations¨aquivalente gemischte Strategie zu der Verhaltensstra- tegie, bei der Spieler 2 bei seiner ersten Entscheidung links mit Wahrscheinlichkeit 13 w¨ahlt und bei seiner zweiten Entscheidung mit Wahrscheinlichkeit 23 nach links geht!
e) Geben Sie zwei verschiedene gemischte Strategien an, bei denen Spieler 2 bei seiner ers- ten Entscheidung mit Wahrscheinlichkeit 15 nach links geht und mit Wahrscheinlichkeit
3
5 an der 2. nach links geht.
Aufgabe 3 : wiederholte Spiele
Zwei Unternehmen A und B befinden sich im Preiswettbewerb. Jedes Unternehmen kann zwischen drei Preisen w¨ahlen: hoch (H), mittel (M) und niedrig (N). Die Gewinne sind in der folgenden Auszahlungsmatrix dargestellt.
H M N
H 10, 10 0, 12 0, 8 M 12, 0 9, 9 0, 8 N 8, 0 8, 0 2, 2
a) Bestimmen Sie die Nash Gleichgewichte des Spiels in reinen Strategien!
b) Angenommen das Spiel wird unendlich oft wiederholt. Der Diskontfaktor ist𝛿 ∈ [0,1].
Wie hoch muss 𝛿 mindestens sein, damit ein Paar von Trigger Strategien ein Nash Gleichgewicht des wiederholten Spiels darstellt, das die durchschnittlich abdiskontier- ten Auszahlungen (10, 10) ergibt?
c) Nehmen Sie nun an, dass das Spiel nur zweimal hintereinander gespielt wird. Entwer- fen Sie ein Paar von Strategien, die ein Nash Gleichgewicht des wiederholten Spiels darstellen, in dem in der ersten Periode (H, H) gespielt wird!
Spieltheorie
Aufgabe 4 : Cournot-Duopol
In einem Markt sind zwei Firmen aktiv, die sich im Cournot-Wettbewerb gegen¨uber- stehen. Beide Firmen produzieren ein homogenes Gut. W¨ahrend Firma 1 dieses mit kon- stanten Grenzkosten von 𝑐1 = 3 produziert, betragen die konstanten Grenzkosten f¨ur Firma 2 𝑐2 = 1. Die Nachfrage ist gegeben durch 𝑃 = 25−𝑋, wobei 𝑋 =𝑥1 +𝑥2 gilt.
𝑃 gibt den Marktpreis an, w¨ahrend 𝑥1 und 𝑥2 die Produktionsmengen beider Firmen repr¨asentieren.
a) Nehmen Sie an, dass beide Firmen simultan ¨uber ihre Produktionsmengen entscheiden.
Wie lauten die gleichgewichtigen Produktionsmengen? Wie lautet der Gleichgewichts- preis? Welche Gewinne verzeichnen die Unternehmen?
b) Die Regierung plant den Markt zu regulieren, um in der globalisierten Welt ein kon- kurrenzf¨ahiges Unternehmen aufzubauen. Dazu plant die Regierung einer Firma per Gesetz zu erlauben, ihre Produktionsmenge zuerst festlegen zu d¨urfen. Welche Gewin- ne w¨urden f¨ur beide Unternehmen resultieren, wenn Firma 1 zuerst w¨ahlt? Welche Gewinne entstehen, wenn Firma 2 zuerst w¨ahlt?
c) Um Transparenz zu wahren, entscheidet sich die Regierung das Recht, zuerst w¨ahlen zu d¨urfen, zu versteigern! Dabei wurde festgelegt, dass das Recht in einer Zweit-Preis- Auktion mit geheimen Geboten versteigert werden soll. Nehmen Sie an, dass beide Unternehmen nur ihre eigenen Gewinne kennen. Welche Gebote werden von den beiden Firmen gemacht? Begr¨undung! Welche Firma wird den Zuschlag erhalten? Wie hoch sind die Einnahmen des Staates? Nehmen Sie weiter an, dass das Recht in jedem Fall verkauft werden soll. Hat der Staat einen Anreiz eine andere Auktionsform zu w¨ahlen?
