UNIVERSITÄT DORTMUND
WIRTSCHAFTS- UND SOZIALWISSENSCHAFTLICHE FAKULTÄT
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Prüfungsfach: Mikroökonomie (HS) Einführung in die Spieltheorie Prüfungstermin: 28.04.2004
Zugelassene Hilfsmittel: Taschenrechner
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Prüfungskandidat/in
(Bitte in Druckbuchstaben ausfüllen!)
Name, Vorname: ...
Matrikel-Nr.: ...
Studiengang: ...
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Bearbeiten Sie drei der vier Aufgaben!
Aufgabe 1 2 3 4 Summe
bitte die drei zu bewertenden Aufga- ben ankreuzen
maximal erreichbare Punktzahl
20 20 20 20
erreichte Punktzahl
Note
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Von der Prüfungsaufsicht auszufüllen:
Unterbrechung der Prüfung:
von ___________ bis ____________ Uhr von __________ bis ___________ Uhr
von ___________ bis ____________ Uhr Ende der Prüfung _____________ Uhr
Aufgabe 1:
Robin Hood und Little John wollen beide gleichzeitig einen Bach über einen schmalen Steg überqueren. Auf dem Steg ist nur Platz für einen von beiden. Beide Spieler können entweder warten (W) oder gehen (G). Robin Hood benötigt tR Sekunden, Little John tJ Sekunden, um den Steg zu überqueren. Entscheiden sich beide für ‚Gehen’, so entscheidet ein Kampf, wer zuerst die Brücke überquert. Dieser Kampf dauert d>0 Sekunden. Beide gewinnen den Kampf mit gleicher Wahrscheinlichkeit. Der Sieger überquert den Steg dann zuerst. Entscheiden sich beide für ‚Warten’, so wird der Sieger mit einer kurzen Version von Schnick-Schnack-Schnuck bestimmt. Auch dieses Spiel gewinnt jeder der beiden mit Wahrscheinlichkeit 0,5. Jedoch dauert dieses Spiel nur e>0 Sekunden, d.h. wir unterstellen e<d. Unterstellt sei, dass beide Spieler möglichst wenig (erwartete) Zeit mit dem Überqueren der Brücke verbringen wollen.
(a) Geben Sie die Normalform mit den erwarteten Auszahlungen des oben beschriebenen Spieles an!
Unterstellen Sie dabei, dass beide Spieler die Zeit, die sie selbst für die Überquerung des Steges benötigen, ignorieren.
(b) Bestimmen Sie für beide Spieler die Beste-Antwort-Korrespondenz in Abhängigkeit der Parameter d, e, tR und tJ! Interpretieren Sie die sich ergebenden Abhängigkeiten kurz!
(c) Bestimmen Sie alle Nash-Gleichgewichte des Spieles! Erläutern und interpretieren Sie, wie die relativen Werte der Parameter tR, tJ und d beeinflussen, welche Strategiekombination(en) im Nash- Gleichgewicht auftritt (auftreten)!
Aufgabe 2:
Ein Einstellungsgremium der Personalabteilung (PA) besteht aus drei Entscheidungsträgern, 1, 2 und 3, die aus drei Kandidaten, A, B und C, einen auswählen sollen. Kann sich das Einstellungsgremium auf keinen Kandidaten einigen, so setzt die Geschäftsführung einen vierten Kandidaten, D, ein. Diesen vierten Kandidaten schätzen alle Entscheidungsträger des Einstellungsgremiums schlechter ein als jeden einzelnen der drei Kandidaten A, B und C. Die nachstehende Tabelle fasst die individuellen Präferenzen der drei Entscheidungsträger zusammen:
Entscheidungsträger Kandidatenranking
1 AfBfCfD
2 BfCf AfD
3 (Chef der PA) CfAfBfD
(Die Schreibweise X fY bedeutet, Kandidat X wird dem Kandidaten Y strikt vorgezogen.) Die Geschäftsordnung der Personalabteilung legt fest, dass im Einstellungsgremium über jeden Kandidaten einzeln und genau einmal abgestimmt wird, bis einer eine Mehrheit, d.h. mindestens zwei Ja-Stimmen (und höchstens eine Neinstimme) erhält. Es wird also maximal dreimal abgestimmt.
Enthaltungen sind nicht zulässig.
(a) Angenommen die Abstimmungsreihenfolge sei erst A, dann B und schließlich C. Bestimmen Sie den eindeutigen teilspielperfekten Gleichgewichtspfad, wenn alle Entscheidungsträger strategisch wählen! (Hinweis: Machen Sie sich zunächst klar, wie das Problem der Entscheidungsträger in der dritten Abstimmungsrunde aussieht! Wie lauten die Alternativen? Wie werden sich die Entscheidungsträger verhalten?)
(b) Finden Sie für die Abstimmungsreihenfolge in (a) ein Nash-Gleichgewicht, welches nicht teilspielperfekt ist! Erläutern Sie das Glaubwürdigkeitsproblem, dass mit diesem einhergeht!
(c) Nun ist es so, dass der Chef der Personalabteilung, Entscheidungsträger 3, die Abstimmungsreihenfolge bestimmt. Wie muss er diese festlegen, damit sein bevorzugter Kandidat C gewählt wird? Wie lautet nun der jeweilige teilspielperfekte Gleichgewichtspfad?
Aufgabe 3:
In dem kleinen Dorf Missena in Silizien entscheiden n Bürger unabhängig über die Finanzierung eines öffentlichen Strandbades, dass jeder Bürger des Dorfes unentgeltlich benutzen kann. Zur Finanzierung des Strandbades, kann jeder Bürger entweder eine Strandbadaktie zum Preis von x>0 Geldeinheiten (GE) kaufen oder aber dies unterlassen und darauf hoffen, dass die anderen Bürger schon genug Geld zusammen bringen werden. Der Kauf jeder Strandbadaktie bringt jedem Bürger den monetären Nutzen von y GE, wobei 0<y<x. Erwerben also insgesamt k andere Bürger eine Strandbadaktie, so beträgt der Nutzen eines Bürgers (k+1)y-x GE bei Kauf einer Strandbadaktie und ky GE bei Nichtkauf.
(a) Unterstellt sei 2y-x>0. Interpretieren Sie diese Bedingung und bestimmen Sie das eindeutige Nash-Gleichgewicht des obigen Spiels! Ist das Nash-Gleichgewicht effizient? Ist das Spiel dominant lösbar? Wenn ja, wie lautet die Lösung?
(b) Welche Aussagen können Sie aus Ihren Ergebnissen in (a) folgern, wenn das beschriebene Spiel endlich oft wiederholt wird? Welche Aussagen ergeben sich für eine „unendliche“, d.h. z.B.
monatliche Wiederholung des Spieles? Begründen Sie Ihre Antwort mit Hilfe entsprechender allgemeiner Sätze bzw. Theoreme der Vorlesung!
(c) Nun ist auf Grund einer hohen Kriminalitätsrate die Mortalität in dem Dorf recht hoch. Jeder Spieler rechet damit, mit Wahrscheinlichkeit m, 0<m<1, den nächsten Monat nicht mehr zu erleben. Unterstellt sei, dass alle Bürger bestrebt seien Ihre monetäre Auszahlung zu maximieren (und dass die Spielerzahl auf Grund einer ausreichenden Geburtenrate konstant bleibt). Geben Sie zunächst Auslöserstrategien an, die die Finanzierung des Strandbades als Ergebnis eines teilspielperfekten Gleichgewichtes stützen! Zeigen Sie sodann, dass diese Strategien (für bestimmte Werte von m) in der Tat ein teilspielperfektes Gleichgewicht implizieren! Illustrieren Sie schließlich, welchen Einfluss der Parameter m auf den Anreiz nimmt, vom teilspielperfekten Gleichgewicht abzuweichen! Interpretieren Sie Ihr Ergebnis!
Aufgabe 4:
Zwei Firmen 1 und 2 befinden sich in duopolistischem Preiswettbewerb mit unvollständiger Information. Während die Kosten von Firma 1 beiden Firmen bekannt sind (K1(x)=0), sind die Kosten von Firma 2 nur ihr selbst bekannt. Firma 1 weiß lediglich, dass Firma 2 mit Wahrscheinlichkeit r, 0<r<1, zu niedrigen Kosten produziert (K2L(x)=0) und mit Wahrscheinlichkeit 1-r zu hohen Kosten (K2H(x)=3x). Diese Informationsstruktur sei Common Knowledge.
Die Nachfrage der umworbenen Konsumenten sei durch x(p)=6-p beschrieben, wobei p=min(p1,p2) den Marktpreis bezeichne. Die firmenspezifische Nachfrage von Firma i (i,j=1,2; i≠j) sei wie folgt gegeben:
=
<
=
sonst.
0
, falls
2 ) (
, falls
) ( ) ,
( i i j
j i i
j i
i x p p p
p p p
x p
p x
Es können nur Preise aus der folgenden Strategiemenge gewählt werden: p1,p2∈{0,1,2,3}. Beide Firmen wählen ihren Preis in Unkenntnis über die Preisentscheidung der jeweils anderen Firma. Die Gewinne von Firma i ergeben sich also als πi(pi,pj)=xi(pi,pj)· pi - Ki(x) (i,j=1,2; i≠j).
(a) Analysieren Sie zunächst die beiden Spiele, die sich bei vollständiger Information ergeben würden (Firma 1 trifft auf Firma 2 mit niedrigen Kosten bzw. Firma 1 trifft auf Firma 2 mit hohen Kosten): Geben Sie zunächst die Normalform der beiden Spiele an! Bestimmen Sie sodann alle Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien!
(b) Zeigen Sie, dass für r<6/11 der Preisvektor (p1,p2L,p2H)=(2,1,3) ein Bayes-Nash-Gleichgewicht darstellt und für r>6/11 der Preisvektor (p1,p2L,p2H)=(1,1,3)! Aus welchen Effekten ergibt sich die Abhängigkeit des Bayes-Nash-Gleichgewichtes von der Typenwahrscheinlichkeit r?
(c) Vergleichen Sie die Ergebnisse aus (a) und (b)! Wieso gibt es kein Bayes-Nash-Gleichgewicht, in dem Firma 1 den Preis p1=0 und Firma 2 mit niedrigen Kosten den Preis p2=0 wählt?
