Prof. Dr. A. Schmidt Dipl.Math.techn. A. Luttmann
Numerik partieller Differentialgleichungen
WS 2017/18 — ¨Ubung 5 — 16.11.2017 Abgabe: 28.11.2017
Aufgabe 9(Zur Kondition der Systemmatrix bei Differenzenverfahren) (8 Punkte) SeiΩ = (0,1)⊂Rund wir betrachten das homogene Dirichlet-Problem
−u00=f in Ω, u= 0 auf ∂Ω.
ZuN ∈N sei h= N1 und Ωh={ai=ih, 0≤i≤N}das ¨aquidistante Gitter.
a) Zeigen Sie, dass die Gitterfunktionen
vk(ai) = sin(kπai), i= 0, . . . , N f¨ur k= 1, . . . , N−1 Eigenfunktionen des diskreten 1D-
”Laplace-Operators“ sind, d. h.−∆hvk=λkvk undvk = 0auf Γh. Berechnen Sie die zugeh¨origen Eigenwerte λk. b) Berechnen Sie die Kondition der reduzierten Systemmatrix des Dirichlet-Problems.
Wie verh¨alt sich die Kondition bei Halbierung der Gitterweite?
c) Sch¨atzen Sie damit die Konvergenzgeschwindigkeit des CG-Verfahrens zur iterativen L¨osung des linearen Gleichungssystems ab. Wie ¨andert sie sich bei Halbierung der Gitterweite? Was bedeutet dies f¨ur die Anzahl der typischerweise n¨otigen Iterationsschritte?
Programmieraufgabe 2 (12 Punkte)
Erweitern Sie das Programm aus Programmieraufgabe 1 zur L¨osung des Problems
−∆u=f in Ω⊂(A, B)2, u=g auf∂Ω
auf einem nicht-rechteckigen GebietΩ. Dieses sei durch eine Funktion Φ(x) beschrieben so dass Ω ={x∈(A, B)2 : Φ(x)>0}.
a) Welche Konvergenzraten beobachten Sie f¨ur die exakte L¨osung aus Programmieraufgabe 1a auf dem Kreis mit Radius 0.8 um den Ursprung (z.B. mitΦ(x) = 0.8− |x|)?
Beachten Sie die Diskretisierung der Dirichlet-Randwerte:gh(pij) =g(p)mitp∈∂Ω,|p−pij|< h.
b) L¨osen Sie mit Ihrem Programm das Problem (vgl. Aufgabe 3, dortuα mit α= 1.5):
−∆u = 0 in Ω = (−1,1)2\([0,1]×[−1,0]), u(rcosφ, rsinφ) = r23 sin
2 3φ
auf∂Ω.
Welche Konvergenzraten beobachten Sie hier?
c) Berechnen Sie die station¨are W¨armeverteilung in einem quadratischen Raum mit eingebautem Saunaofen, so dass Ω = (0,1)2 \[0.50,0.75]2, ohne innere W¨armequelle (also mit f = 0) mit den folgenden Tempera- turrandwerten: Am Rand des Ofens ist die Temperatur gleich g = 110, an den W¨anden gilt g= 20.
d) Berechnen Sie die W¨armeverteilung aus c) bei einem zus¨atzlichen Konvektionsterm
−∆u+b· ∇u=f in Ω mitb(x) = max
0,40 sin 6
x−
0.5 0.5
0.5−x2 x1−0.5
.
