Prof. Dr. A. Schmidt M.Sc. D. Zvegincev
Numerik partieller Differentialgleichungen
WS 2020/21 — ¨Ubung 3 — 24.11.2020 Abgabe: 01.12.2020
Aufgabe 5 (Zur Kondition der Systemmatrix bei Differenzenverfahren) (8 Punkte) Sei Ω = (0,1)⊂Rund wir betrachten das homogene Dirichlet-Problem
−u00=f in Ω, u= 0 auf ∂Ω.
ZuN ∈N sei h= N1 und Ωh={ai=ih, 0≤i≤N}das ¨aquidistante Gitter.
a) Zeigen Sie, dass die Gitterfunktionen
vk(ai) = sin(kπai), i= 0, . . . , N f¨ur k= 1, . . . , N−1 Eigenfunktionen des diskreten 1D-
”Laplace-Operators“ sind, d. h. −∆hvk=λkvk und vk= 0 auf Γh. Berechnen Sie die zugeh¨origen Eigenwerte λk. b) Berechnen Sie die Kondition der reduzierten Systemmatrix des Dirichlet-Problems (ohne
Freiheitsgrade am Rand).
Wie verh¨alt sich die Kondition bei Halbierung der Gitterweite?
c) Sch¨atzen Sie damit die Konvergenzgeschwindigkeit des CG-Verfahrens zur iterativen L¨osung des linearen Gleichungssystems ab. Wie ¨andert sie sich bei Halbierung der Gitterweite? Was bedeutet dies f¨ur die Anzahl der typischerweise n¨otigen Iterationsschritte?
Aufgabe 6 (6 Punkte)
Anstelle der lexikografischen Nummerierung aus der Vorlesung betrachten wir die
”Schachbrett- Nummerierung“, bei der die geometrisch n¨achsten Nachbarpunkte eine weit entfernte Nummer erhalten, hier im Beispiel f¨ur 5 × 5 Punkte:
a) Stellen Sie die zugeh¨orige(M×M)-MatrixAzum Poisson-Problem f¨urM =N×N Punkte mit Gitterweite h dar.
b) Begr¨unden Sie: Bei einer Gauß-Seidel-Iteration
Uik+1= 1 Aii
Fi−X
j<i
AijUik+1−X
j>i
AijUik
, i= 1, . . . , M
f¨ur diese Matrix k¨onnten jeweils M/2 Zuweisungen gleichzeitig (z. B. auf einem Parallel- Rechner mit entsprechend vielen Prozessoren) ausgef¨uhrt werden, ohne die Berechnung zu verf¨alschen.
c) Begr¨unden Sie: Bei der gleichen Gauß-Seidel-Iteration f¨ur die Matrix aus lexikografischer Nummerierung k¨onnen (f¨ur innere Punkte) KEINE Zuweisungen gleichzeitig ausgef¨uhrt wer- den, ohne die Berechnung zu verf¨alschen.
