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Numerik partieller Differentialgleichungen

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Academic year: 2021

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Zentrum für Technomathematik

Prof. Dr. A. Schmidt Dr. J. Montalvo Urquizo

Numerik partieller Differentialgleichungen

WS 2011/12 — ¨Ubung 10 — 24.01.2012 Abgabe: 31.01.2012

Aufgabe 20 (Anisotrope Rechteck-Elemente) (4 Punkte) Es seien R0 = (0,1)d der d-dimensionale Einheitsw¨urfel und R ein achsenparalleler Quader, affin

¨aquivalent zu R0 mit der Abbildung

F :R0 →R, F(y) =Ay+b, A= diag(h1, . . . , hd).

a) Zeigen Sie, dass mit m∈N0 f¨ur |α| ≤m,v∈Hm(R) und ˆv:=v◦F gilt:

kDαvkˆ L2(R0) =hα12kDαvkL2(R). Dabei bezeichnet hα12 =

d

Q

i=1

hαi

1 2

i .

b) Sei P(R0) ein endlichdimensionaler Funktionenraum auf R0 und P(R) der aufR transfor- mierte Raum. Zeigen Sie, dass es dann eine Konstantec >0gibt so dass f¨ur allep∈Pund i= 1, . . . , dgilt:

∂p

∂xi

L2(R)≤c1 hi

kpkL2(R).

Aufgabe 21(Skalierter Spursatz) (4 Punkte)

Es seiS ein regul¨ares Dreieck mit h≤σρ und RandkanteΓ. Zeigen Sie, dass f¨urv∈H1(S) gilt:

kvkL2(S)≤c

h12kvkL2(S)+h12k∇vkL2(S)

.

Transformieren Sie dazu S auf das Standardelement Sˆ wobei Γ = (0,ˆ 1)× {0} sei. Setzen Sie ˆ

v(ˆx1,xˆ2) = ˆv(1−xˆ2,1−xˆ1) f¨urxˆ2 >1−xˆ1 auf das Einheitsquadrat(0,1)2 fort und verwenden Sie den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung inxˆ2–Richtung.

Programmieraufgabe 5 (8 Punkte)

Verwenden Sie die MATLAB PDE-Toolbox zur L¨osung des Poisson-Problems

−∆u=f inΩ⊂R2, u=g auf ∂Ω.

Siehe dazu die MATLAB-Befehle

”pdetool“,

”pdedemo1“, ...

Approximieren Sie damit die L¨osung des Problems aus Aufgabe 3a) auf dem L-Gebiet Ω = (−1,+1)2 \(0,1)2 mit verschieden feinen Triangulierungen.

Welche Konvergenzordnung beobachten Sie?

Achtung:Es gibt nur 5 Lizenzen f¨ur die PDE-Toolbox, bitte nutzen Sie die Toolbox nur so lange wie unbedingt n¨otig und beenden danach Ihren MATLAB-Aufruf.

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