Zentrum für Technomathematik
Prof. Dr. A. Schmidt Dipl.Math.techn. M. Jahn
Numerik partieller Differentialgleichungen
WS 2014/15 — ¨Ubung 4 — 11.11.2014 Abgabe: 18.11.2014
Aufgabe 8 (4 Punkte)
Zeigen Sie die Konsistenzabsch¨atzung auf einem nicht-¨aquidistanten Gitter:
a) F¨uru∈C4[x−hl, x+hr] gilt
−u′′(x)− 2 hl+hr
u(x)−u(x+hr)
hr +u(x)−u(x−hl) hl
≤ C(hl+hr).
b) Falls f¨ur eine Konstante K gilt dass hl≤hr(1 +Khr) und hr≤hl(1 +Khl), so folgt
−u′′(x)− 2 hl+hr
u(x)−u(x+hr)
hr +u(x)−u(x−hl) hl
≤ C(h2l +h2r).
Ein solches Gitter heißt lokal ¨aquidistant.
Programmieraufgabe 2 (8 Punkte)
Erweitern Sie das Programm aus Programmieraufgabe 1 zur L¨osung des Problems
−∆u=f in Ω⊂(A, B)2, u=g auf ∂Ω
auf einem nicht-rechteckigen Gebiet Ω. Dieses sei durch eine Funktion Φ(x) beschrieben so dass Ω ={x∈(a, b)2 : Φ(x)>0}.
a) Welche Konvergenzraten beobachten Sie f¨ur die exakte L¨osung aus Aufgabe 1a auf dem Kreis mit Radius 0.8 um den Ursprung (z.B. mit Φ(x) = 0.8− |x|)?
Beachten Sie die Diskretisierung der Dirichlet-Randwerte:gh(pij) =g(p)mitp∈∂Ω,|p−pij|< h.
b) L¨osen Sie mit Ihrem Programm das Problem
−∆u = 0 in Ω = (−1,1)2\([0,1]×[−1,0]), u(rcosφ, rsinφ) = r23 sin(2
3φ) auf ∂Ω.
Welche Konvergenzraten beobachten Sie hier?
c) Berechnen Sie die W¨armeverteilung in einem quadratischen Raum mit eingebautem Saunaofen, so dassΩ = (0,1)2 \[0.50,0.75]2, ohne innere W¨armequelle (also mitf = 0) mit den folgenden Temperaturrandwerten:
Am Rand des Ofens ist die Temperatur gleichg = 110, an den W¨anden
giltg= 20. g=20
g=110
