Zentrum für Technomathematik
Prof. Dr. A. Schmidt Dr. J. Montalvo Urquizo
Numerik partieller Differentialgleichungen
WS 2011/12 — ¨Ubung 11 — 31.01.2012 Abgabe: 07.02.2012
Aufgabe 22 (6 Punkte)
SeiΩ⊂RdmitΓD∪ΓN =∂ΩundS eine Triangulierung vonΩwelche die Zerlegung des Randes respektiere, d.h. Γ¯D undΓ¯N bestehen aus kompletten Seitensimplizes von S.
Leiten Sie, analog zur Vorlesung, den Fehlersch¨atzer f¨ur das elliptische Problem
−div(A∇u) +b· ∇u+cu =f inΩ, u = 0 aufΓD, u =gN aufΓN
her. Dabei sei A ∈ C1(S,Rd×d) f¨ur jedes S ∈ S, b ∈ L2(Ω,Rd) und c, f ∈ L2(Ω,R) sowie gN ∈L2(ΓN,R).
Aufgabe 23 (6 Punkte)
Zeigen Sie: Die Funktion s:Rd×(0,∞), definiert durch s(x, t) = 1
(4πt)d/2 e−|
x|2 4t
ist eine L¨osung der W¨armeleitungsgleichung
st−∆s= 0 in Rd×(0,∞).
Außerdem gilt Z
Rd
s(x, t)dx= 1 und lim
t→0
Z
Rd\Bε(0)
s(x, t)dx= 0.
Programmieraufgabe 6 (8 Punkte)
Verwenden Sie die MATLAB PDE-Toolbox zuradaptiven L¨osung des Poisson-Problems
−∆u=f inΩ⊂R2, u=g auf ∂Ω.
Siehe dazu die MATLAB-Befehle
”pdetool“,
”pdedemo7“, ...
Approximieren Sie damit
• die L¨osungu(x, y) =x3+y3 auf dem EinheitsquadratΩ = (0,1)2,
• die L¨osungu(x, y) =x2+y2 auf dem EinheitsquadratΩ = (0,1)2,
• die L¨osung aus Programmieraufgabe 5 auf dem L-Gebiet.
Welche Konvergenzordnungenbez¨uglich der Anzahl der Freiheitsgrade beobachten Sie?
