Prof. Dr. A. Schmidt Dr. A. Luttmann
Numerik partieller Differentialgleichungen
WS 2018/19 — ¨Ubung 5 — 20.11.2018 Abgabe: 27.11.2018
Aufgabe 9 (6 Punkte)
Auf dem Raum X={v∈C1[0,1], v(0) = 0} sei das Funktional
E(v) = 1 2
Z 1 0
p(x)v0(x)2dx+ 1 2
Z 1 0
q(x)v(x)2dx− Z 1
0
f(x)v(x)dx
gegeben mitp, q, f ∈C[0,1].
• Stellen Sie die schwache Form der Eulergleichung zu E auf, d.h. welche Gleichung gilt f¨ur eine L¨osungu∈X des Minimierungsproblems E(u) = infv∈XE(v) ?
• Stellen Sie die starke Form der Eulergleichung zuEauf (fallsu∈C2(0,1)undp∈C1[0,1]).
Welche Randbedingung f¨ur ugilt in x= 1?
Aufgabe 10 (4 Punkte)
Wir schreibenu+(x) = max(u(x),0)undu−(x) = min(u(x),0). Zeigen Sie, dass f¨uru∈H1(Ω) gilt:u+, u−,|u| ∈H1(Ω)und
∂u+
∂xi = ∂u
∂xi u >0, 0 u≤0,
∂u−
∂xi =
0 u≥0,
∂u
∂xi u <0,
∂|u|
∂xi =
∂u
∂xi u >0, 0 u= 0,
−∂x∂u
i u <0.
Tip: Definierefε(s) :=
√
s2+ε2−ε s >0,
0 s≤0 und wenden Sie die folgende Kettenregel f¨ur Sobolev-Funktionenan:
Sei f ∈C1(R) mitsup|f0| ≤M <∞ und u∈H1(Ω),Ω⊂Rd offen und beschr¨ankt.
Dann ist f◦u∈H1(Ω)und
∂(f ◦u)
∂xi
=f0(u)∂u
∂xi
, i= 1, . . . , d.
Aufgabe 11 (4 Punkte)
Beweisen Sie das folgende Maximumprinzip:
SeiΩ⊂Rdein beschr¨anktes Gebiet, und u∈H01(Ω)schwache L¨osung des Problems
−∆u+c u=f in Ω, u= 0 auf ∂Ω mitf ∈L2(Ω)und c∈L∞(Ω),c≥0, d.h.
Z
Ω
∇u· ∇ϕ+c u ϕ= Z
Ω
f ϕ f¨ur alle ϕ∈H01(Ω).
Dann gilt: Ist f ≤0, so ist auchu≤0.
Tip: Testen der Gleichung mit u+, vgl. Aufgabe 10.
